课时分层作业(十九)平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三象限D．第四象限D[x2＋x＋1＝2＋＞0，x2－x＋1＝2＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．]2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且MP＝MN，则点P的坐标为()【导学号：84352224】A．(－8,1)B．C．D．(8，－1)C[因为MP＝MN，所以OP－OM＝(ON－OM)，OP＝OM＋ON＝(3，－2)＋(－5，－1)＝，即点P坐标为.]3．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于()A．(－2，－2)B．(2,2)C．(－2,2)D．(2，－2)D[由已知得2a－b＝(2,4)，a＋b＝(4，－10)，所以3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．]4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()【导学号：84352225】A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)D[因为4a,3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)．]5．已知点A(1,2)，B(2,4)，C(－3,5)．若BP＝BA＋mBC，且点P在y轴上，则m＝()A．－2B．C．－D．2B[设P(x，y)，由题意AP＝mBC，∴∴P(－5m＋1，m＋2)，又点P在y轴上，∴－5m＋1＝0，m＝.]二、填空题6．如图2316，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝________.图2316(－3，－5)[BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，BD＝BC＋CD＝BC－AB＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．]7．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2317所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.图23174[以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.]8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝________.【导学号：84352226】1[由c＝λ1a＋λ2b，得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)，所以解得λ1＝－1，λ2＝2，所以λ1＋λ2＝1.]三、解答题9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝AB，DA＝－BA，求CD的坐标．[解]因为A(－1,2)，B(2,8)，所以AB＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，BA＝(－3，－6)，所以AC＝AB＝(1,2)，DA＝－BA＝(1,2)，AD＝(－1，－2)，所以CD＝AD－AC＝(－1，－2)－(1,2)＝(－2，－4)．10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标.【导学号：84352227】[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2) mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)设O为坐标原点， CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又 CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴MN＝(9，－18)．[冲A挑战练]1．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为()A.B.C.D.C[如图所示， ∠AOC＝45°，设C(x，－x)，则OC＝(x，－x)．又 A(－3,0)，B(0,2)，∴λOA＋(1－λ)OB＝(－3λ，2－2λ)，∴⇒λ＝.]2．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()【导学号：84352228】A．{(1,1)}B．{(－1,1)}C．{(1,0)}D．{(0,1)}A[a＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，b＝(1,1)＋n(－1,1)＝(1－n,1＋n)．由a＝b得解得故P∩Q＝{(1,1)}．]3．已知A(2,3)，B(1,4)，且AB＝(sinα，cosβ)，α，β∈，则α＋β＝________.或－[因为AB＝(－1,1)＝＝(sinα，cosβ)，所以sinα＝－，cosβ＝，所以α＝－，β＝－或，所以α＋β＝或－.]4．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，...
