1．矩阵与变换1．(2017·常州期末)已知矩阵A＝，列向量X＝，B＝，若AX＝B，直接写出A－1，并求出X.解由A＝，得到A－1＝.由AX＝B，得到X＝A－1B＝＝.也可由AX＝B得到＝，即解得所以X＝.2．(2017·江苏淮阴中学调研)已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量α2＝.求矩阵A，并写出A的逆矩阵．解由矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝可得，＝6，即c＋d＝6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝，可得＝，即3c－2d＝－2，解得即A＝，A的逆矩阵是3．(2017·江苏建湖中学月考)曲线x2＋4xy＋2y2＝1在二阶矩阵M＝的作用下变换为曲线x2－2y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求M的逆矩阵M－1.解(1)设P(x，y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上与P对应的点，则＝，即代入x2－2y2＝1得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1得(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，及方程x2＋4xy＋2y2＝1，从而解得a＝2，b＝0.(2)因为M＝＝1≠0，故M－1＝＝.4．已知曲线C：y2＝x，在矩阵M＝对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N＝对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．解设A＝NM，则A＝＝，设P(x′，y′)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上对应的点为P(x，y)，则＝＝，即∴又点P(x′，y′)在曲线C：y2＝x上，∴2＝y，即x2＝2y.1
