高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用课时素养评价（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题VIP免费

函数模型的应用(15分钟30分)1.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A.y=0.957B.y=(0.9576)100xC.y=D.y=1-0.042【解析】选A.由题意可知y=(95.76%，即y=.2.某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是()A.(a-10%)(a+15%)万元B.a(1-10%)(1+15%)万元C.(a-10%+15%)万元D.a(1-10%+15%)万元【解析】选B.由题意，5月份的产值为a(1-10%)(1+15%)万元.3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600只D.700只【解析】选A.将x=1，y=100代入y=alog2(x+1)得，100=alog2(1+1)，解得a=100，所以当x=7时，y=100log2(7+1)=300.4.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q-Q2，则总利润L(Q)的最大值是_______万元.【解析】因为L(Q)=40Q-Q2-10Q-2000=-Q2+30Q-2000=-(Q-300)2+2500，所以当Q=300时，L(Q)的最大值为2500万元.答案：25005.(2020·山师附中高一检测)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t(分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈(14，40]时，曲线是函数y=loga+83图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f的函数关系式.(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.【解析】(1)当t∈(0，14]时，设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0)，将点(14，81)代入得c=-，所以当t∈(0，14]时，p=f(t)=-(t-12)2+82；当t∈(14，40]时，将点(14，81)代入y=loga(t-5)+83，得a=.所以(2)当t∈(0，14]时，-(t-12)2+82≥80，解得12-2≤t≤12+2，所以t∈[12-2，14]；当t∈(14，40]时，lo(t-5)+83≥80，解得522.所以教师能够合理安排时间讲完题目.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为()A.125B.100C.75D.50【解析】选C.由已知得a=a·e-50k，即e-50k==.所以a=·a=(e-50k·a=e-75k·a，所以t=75.2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如表是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y/台10203981160若用下列四个函数中的一个来描述这些数据的规律，则其中最接近的一个是()A.y=10xB.y=5x2-5x+10C.y=5·2xD.y=10log2x+10【解析】选C.对于选项A，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，30，40，50，对于选项B，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，70，110，对于选项C，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，80，160，对于选项D，当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，10+10log23，30，10+10log25，而表中所给的数据是当x=1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，39，81，160，通过比较，即可发现选项C中y的值误差最小，即y=5•2x能更好地反映y与x之间的关系.3.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股，可以预知一年后以每股18.96元的价格销售.已知该年银行利率为0.8%，按月计复利，为获取最大利润，某人应将钱[注：(1+0.8%)12≈1.10034]()A.全部购买股票B.全部存入银行C.部分购买股票，部分存银行D.购买股票或存银行均一样【解析】选B.购买股票利润：x=(18.96-17.25)×10000，存银行利润：y=17.25×10000×(1+0.8%)12-17.25×10000，计算得x