3.3.2利用导数研究函数的极值课后导练基础达标1.若函数y=f(x)可导，则“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A2.函数y=1+3x-x3有()A.极小值-2，极大值2B.极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值1D.极小值-1，极大值3解析：y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x1=-1,x2=1.当x<-1时，y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数；当-1
0,函数y=1+3x-x3是增函数；当x>1时，y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.∴当x=-1时，函数y=1+3x-x3有极小值-1；当x=1时，函数y=1+3x-x3有极大值3.答案：D3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则a等于()A.2B.3C.4D.5解法一：(直接法)f′(x)=3x2+2ax+3,则x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根，所以a=5.故选D.解法二：(验证法)当a=2时，f′(x)=3x2+4x+3=0,无解，排除A；当a=3时，f′(x)=3x2+6x+3=0,x=-1,不满足条件，排除B；当a=4时，f′(x)=3x2+8x+3=0,其根不满足条件，排除C，故选D.答案：D4.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的()A.极大值为274，极小值为0B.极大值为0，极小值为-274C.极小值为-275，极大值为0D.极小值为0，极大值为275解析： f(x)与x轴切于(1，0)点，∴f′(x)=3x2-2px-q.∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,∴p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x.∴fmax=274)31(f,fmin=f(1)=0.故选A.答案：A5.三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x解析：三次函数过原点，可设f(x)=x3+bx2+cx,f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知，f′(1)=3+2b+c=0,f′(3)=27+6b+c=0,∴b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x;f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时，f(x)max=4;1当x=3时，f(x)min=0,满足条件.答案：B6.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围是_______________.解析：利用导数，由题设可得f′(x)=3x2-3b,若该函数在(0，1)内有极小值时，只需该二次函数的较大根在此区间内即可，即00)的极大值为正数，极小值为负数，则a的范围是_______________.解析：f′(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>0),令f′(x)=0,得x=±a,当-aa或x<-a时，f′(x)>0，函数递增.∴f(-a)=-a3+3a3+a>0,f(a)=a3-3a3+a<0,解得a>22.答案：a>228.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为_______________.解析：x=2是f(x)的极大值点， f(x)=x(x2-2cx+c2),∴f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.∴f′(2)=c2-8c+12=0.∴c=2或c=6.当c=2时，不能取极大值，∴c=6.答案：69.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1,(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.解：(1)由f′(-1)=f′(1)=0，得3a+2b+c=0，3a-2b+c=0.又f(1)=-1，∴a+b+c=-1.∴a=21,b=0,c=-23.(2)f(x)=21x3-23x，∴f′(x)=23x2-23=23(x-1)(x+1)；当x<-1或x>1时，f′(x)>0；当-10，当x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，故在x=1处函数f(x)取得极小值65，在x=2处函数取得极大值3234ln2.综合运用11.求下列函数的极值(1)y=x4-2x2-1(2)y=(x+2)2(x-1)3解：(1)y′=4x3-4x=0，x=0或x=-1或x=1.x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′-0+0-0+y极小极大极小当x=-1时，函数有极小值-2，当x=0时，函数有极大值-1，当x=1时，函数有极小值-2.(2)f′(x)=2(x+2)(x-1)3+3(x+2)2(x-1)2=(x+2)(x-1)2(5x+4).令f′(x)=0，...
