课时分层作业(二十三)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为()A．48B．56C．64D．72A[由得x2－10x＋9＝0，解得或∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，∴梯形APQB的面积为S＝(|AP|＋|BQ|)×|PQ|＝(10＋2)×8＝48.]2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.D[设双曲线方程为－＝1(a＞0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－.∴·＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0.两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，故选D.]3．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.B．4C．3D．5A[ 抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.]二、填空题4．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.[解析]抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆方程为＋＝1. 抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.[答案]65．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点到右准线的距离等于3a，则椭圆的离心率为________．[解析]由题意知，＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，∴e2－3e＋1＝0，解得e＝.[答案]6．已知抛物线y2＝16x的焦点恰好是双曲线－＝1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为__1______．[解析]由抛物线方程y2＝16x得焦点坐标为(4,0)，从而知双曲线－＝1的右焦点为(4,0)，∴c＝4，∴12＋b2＝16，∴b＝2.又a＝2，∴双曲线渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.[答案]y＝±x7．已知椭圆＋＝1上有一点P，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P到两准线的距离之和为________．[解析]设P(x，y)，左、右焦点分别为F1，F2，由椭圆方程，可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，则PF1＋PF2＝2a＝20.又3PF1＝PF2，∴PF1＝5，PF2＝15.设点P到两准线的距离分别为d1，d2，可得d1＝＝，d2＝＝.故点P到两准线的距离分别为，，＋＝25.[答案]258．已知点P在双曲线－＝1上，并且P到双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是________．[解析]记实半轴、虚半轴、半焦距的长分别为a，b，c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a＝4，b＝3，c＝5，e＝＝，右准线l的方程为x＝＝.如果P在双曲线右支上，则PF1＝PF2＋2a＝ed＋2a.从而，PF1＋PF2＝(ed＋2a)＋ed＝2ed＋2a>2d，这不可能；故P在双曲线的左支上，则PF2－PF1＝2a，PF1＋PF2＝2d.两式相加得2PF2＝2a＋2d.又PF2＝ed，从而ed＝a＋d.故d＝＝＝16.因此，P的横坐标为－16＝－.[答案]－三、解答题9．已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于F的准线为y轴，l是过F且倾斜角为60°的直线，l被椭圆截得的弦AB的长是，求椭圆的方程．[解]设椭圆离心率为e，M(x，y)为椭圆上任一点，由统一定义＝e，得＝e，整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.① 直线l的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y－1＝(x－3)，②①②联立得(4－e2)x2－24x＋36＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝，∴AB＝e(x1＋x2)＝e·＝，∴e＝，∴椭圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝x2，即＋＝1.10．已知定点A(－2，)，点F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．[解] a＝4，b＝2，∴c＝＝2，∴离心率e＝.A点在椭圆内，设M到右准线的距离为d，则＝e，即MF＝ed＝d，右准线l：x＝8，∴AM＋2MF＝AM＋d. A点在椭圆内，∴过A作AK⊥l(l为右准线)于K，交椭圆于点M0.则A，M，K三点共线，即M与M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10.故AM＋2MF的最小值为10，此时M点坐标为(2，)．2[能力提升练]1．已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段M...
