第三章导数及其应用3.2导数的计算A级基础巩固一、选择题1．下列求导运算正确的是()A.′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2sinx解析：因为′＝x′＋′＝1－，所以A选项错误；又(log2x)′＝，所以选项B正确；又(3x)′＝3xln3，所以选项C错误；又(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D错误．答案：B2．f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则x0等于()A.B．－C．±D．±1解析：f′(x)＝3x2，由f′(x0)＝6，知3x＝6，所以x0＝±.答案：C3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝()A．2B．ln3C.D．－ln3解析：f′(x)＝axlna，则f′(1)＝alna＝ln27，解得a＝3，所以f′(x)＝3xln3.故f′(－1)＝3－1ln3＝.答案：C4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B．2e2C．e2D.解析：因为y＝ex，所以y′＝ex，所以y′|x＝2＝e2＝k，所以切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.在切线方程中，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，所以S三角形＝×|－e2|×1＝.答案：D5．若f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2013(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2013(x)＝f1(x)＝cosx.答案：C二、填空题6．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．解析：设点P的坐标为(x0，y0)，1因为f′(x)＝4x3－1，所以4x－1＝3，所以x0＝1.所以y0＝14－1＝0，所以即得P(1，0)．答案：(1，0)7．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．解析：由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.答案：18．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.答案：1三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(－2)2；(3)y＝x－sincos.解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二：因为y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，所以y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)因为y＝(－2)2＝x－4＋4，所以y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4×x－＝1－2x－.(3)因为y＝x－sincos＝x－sinx，所以y′＝x′－′＝1－cosx.10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3.所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)．即7x＋y－3＝0.B级能力提升1．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，)B．[，)C．(，]D．[，π)2解析：y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，因为t＋≥2，所以y′∈[－1，0)，α∈.答案：D2．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，又f′(－x)＝f′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)对任意x∈R都成立，所以a＝0，f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x，答案：y＝－3x3．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：f′(x)＝a＋.因为点(2，f(2))在切线7x－4y－12＝0上，所以f(2)＝＝.又曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，所以⇒⇒所以f(x)的解析式为f(x)＝x－.(2)证明：设为曲线y＝f(x)上任意一点，则切线斜率k＝1＋，切线方程为y－＝(x－x0)，令x＝0，得y＝－.由得所以曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0||－|＝6，为定值．3
