第四节数列求和及综合应用限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．(2018·河北衡水中学质检)1＋＋1＋＋＋…＋的值为()A．18＋B．20＋C．22＋D．18＋解析：选B.设an＝1＋＋＋…＋＝＝2.则原式＝a1＋a2＋…＋a11＝2＋2＋…＋2＝2＝2＝2＝2＝20＋.2．(2018·重庆联考)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于()A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)解析：选A.由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2(2＋4＋…＋2n)＋n＝n(2n＋3)．3．(2018·贵阳模拟)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为()A.B．C.D．解析：选B. an＝＝，∴bn＝＝＝4，∴Sn＝4＝4＝.4．(2018·南昌模拟)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a12＝()A．18B．15C．－18D．－15解析：选A.记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a11＋a12＝(－b1)＋b2＋…＋(－b11)＋b12＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b12－b11)＝6×3＝18.5．(2018·深圳调研)已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0B．100C．－100D．10200解析：选B.由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝(12－22)＋(32－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＋(1012－1002)＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.故选B.6．(2018·青岛二模)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102，由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.答案：67．(2018·黄石二模)已知公比不为1的等比数列{an}的前5项积为243，且2a3为3a2和a4的等差中项．若数列{bn}满足bn＝log3an＋2(n∈N*)，则数列{an＋bn}的前n项和Sn＝________.解析：由前5项积为243得a3＝3.设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，由2a3为3a2和a4的等差中项，得3×＋3q＝4×3，由公比不为1，解得q＝3，所以an＝3n－2，故bn＝log3an＋2＝n，所以an＋bn＝3n－2＋n，数列{an＋bn}的前n项和Sn＝3－1＋30＋31＋32＋…＋3n－2＋1＋2＋3＋…＋n＝＋＝＋.答案：＋8．(2018·济南模拟)在公差d＜0的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________.解析：由已知可得(2a2＋2)2＝5a1a3，即4(a1＋d＋1)2＝5a1·(a1＋2d)，所以(11＋d)2＝25(5＋d)，解得d＝4(舍去)或d＝－1，所以an＝11－n.当1≤n≤11时，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝；当n≥12时，an＜0，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋a11－(a12＋a13＋…＋an)＝2(a1＋a2＋a3＋…＋a11)－(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝2×－＝.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝答案：9．(2018·河北唐山二模)已知数列{an}为单调递增数列，Sn为其前n项和，2Sn＝a＋n.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜.解：(1)当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，又{an}为单调递增数列，所以an≥1.由2Sn＝a＋n得2Sn＋1＝a＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn＝a－a＋1，则2an＋1＝a－a＋1，所以a＝(an＋1－1)2.所以an＝an＋1－1，即an＋1－an＝1，所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n.(2)证明：bn＝＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝－＜.10．(2018·浙江卷)已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.(1)求q的值；(2)求数列{bn}的通项公式．解：(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5...
