三平面与圆锥面的截线自我小测1．下列说法不正确的是()A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径2．设截面和圆锥的轴的夹角为β，圆锥的母线和轴所成角为α，当截面是椭圆时，其离心率等于()A．B．C．D．3．线段AB是抛物线的焦点弦．若A，B在抛物线准线上的正射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于()A．45°B．60°C．90°D．120°4．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A．B．C．D．5．已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是__________，该曲线的形状是__________．6．已知椭圆两条准线间的距离为20，长轴长为10，则短轴长为__________．7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是__________．8．已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使SC＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和．9．如图，已知圆锥母线与轴的夹角为α，平面π与轴线夹角为β，Dandelin球的半径分别为R，r，且α＜β，R＞r，求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2，轴长G1G2.110．P是椭圆上的任意一点，设∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，椭圆离心率为e.求证：e＝，并写出在双曲线中类似的结论．2参考答案1．解析：显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．答案：D2．B3．解析：如图所示，由抛物线定义，知AA1＝AF，∴∠AA1F＝∠AFA1.又AA1∥EF，∴∠AA1F＝∠A1FE，∴∠AFA1＝∠A1FE，∴FA1是∠AFE的平分线．同理，FB1是∠BFE的平分线，∴∠A1FB1＝∠AFE＋∠BFE＝(∠AFE＋∠BFE)＝90°.答案：C4．解析：椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.又因为四边形AF1BF2为矩形，所以∠F1AF2＝90°.所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，所以|AF1|＝2－，|AF2|＝2＋.所以在双曲线C2中，2c＝2，2a＝|AF2|－|AF1|＝2，故e＝＝＝，故选D.答案：D5．解析：∵e＝＝＞1，∴曲线为双曲线．答案：双曲线6．解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.由得a＝5，c＝，则2b＝2＝5.答案：57．解析：∵PF1⊥PF2，∴P在以F1F2为直径的圆上．∴点P(x，y)满足解得y2＝.∵|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|y|，∴4ab＝2c·，解得e＝.答案：38．解：椭圆．e＝＝＝.设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为F1，F2，如图，MF1＋MF2＝Q1Q2＝AB.设圆锥面内切球O1的半径为R1，内切球O2的半径为R2，∵SO1＝2R1，CO1＝R1，∴SC＝(2＋)R1＝5，即R1＝.∵SO2＝2R2，CO2＝R2，∴SC＝(2－)R2＝5，即R2＝.∵O1O2＝CO1＋CO2＝(R1＋R2)＝10，∴AB＝O1O2cos30°＝O1O2·＝5，即MF1＋MF2＝5.9．解：连接O1F1，O2F2，O1O2交F1F2于O点．在Rt△O1F1O中，OF1＝＝.在Rt△O2F2O中，OF2＝＝.∴F1F2＝OF1＋OF2＝.同理，O1O2＝.4连接O1A1，O2A2，过O1作O1H⊥O2A2.在Rt△O1O2H中，O1H＝O1O2·cosα＝·cosα.又O1H＝A1A2，由切线定理，容易验证G1G2＝A1A2，∴G1G2＝·cosα.10．证明：在△PF1F2中，由正弦定理得＝＝，∴PF1＝F1F2·，PF2＝F1F2·.由椭圆定义，2a＝PF1＋PF2＝F1F2·＝F1F2·，∴e＝＝＝＝.对于双曲线的离心率e有：e＝＝.5
