第二章函数与导数第11课时导数的概念与运算1.已知函数f(x)＝1＋，则f(x)在区间[1，2]，上的平均变化率分别为________．答案：－，－2解析：＝－；＝－2.2.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(s的单位为m，t的单位为s)，则t＝2s时，汽车的瞬时速度为________．答案：4m/s解析：注意带单位．利用导数可求．3.若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集是________．答案：(2，＋∞)解析：x>0，f′(x)＝2x－2－>0，解得x>2.4.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(－1)＝________．答案：－6解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f(x)＝x2－4x，f′(－1)＝－6.5.曲线f(x)＝在x＝2处的切线斜率为________．答案：0解析：f′(x)＝＝，所以切线斜率为f′(2)＝0.6.曲线y＝与y＝在它们交点处的两条切线与y轴所围成的三角形的面积为________．答案：6解析：两曲线交点为(4，2)，利用函数求导知，它们在交点处的切线方程分别为x－4y＋4＝0与x＋2y－8＝0，所以两条切线与y轴所围成的三角形的面积为6.7.设P是函数y＝(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．答案：解析：tanθ＝y′＝≥，当且仅当x＝时，取等号，所以θ∈.8.若直线y＝kx－3与曲线y＝2lnx相切，则实数k＝________．答案：2解析：对y＝2lnx求导得y′＝，∴即实数k＝2.9.求下列函数的导数．(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝2x＋ln2x；(3)y＝－；(4)y＝(2x＋1)ln(2x＋1)．解：(1)y′＝3x2＋12x＋11；(2)y′＝2xln2＋；(3)y′＝；(理)(4)y′＝2[ln(2x＋1)＋1]．10.已知曲线y＝(x>0)．(1)求曲线在x＝2处的切线方程；(2)求曲线上的点到直线3x－4y－11＝0的距离的最小值．解：(1)3x－4y＋4＝0；(2)设曲线在点(x0，y0)处的切线与直线3x－4y－11＝0平行，因为y′＝1－，令1－＝，解得x0＝2，所以切点为，所以距离的最小值为点到直线3x－4y－11＝0的距离，即为3.11.设曲线y＝(ax－1)ex在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y＝(1－x)e－x在点B(x0，y2)处的切线为l2.若存在x0∈，使得l1⊥l2，求实数a的取值范围．解：由y＝(ax－1)ex，得y′＝aex＋(ax－1)ex＝(ax＋a－1)ex.由y＝，得y′＝＝.由题意(ax0＋a－1)·ex0·＝－1，即(ax0＋a－1)(x0－2)＝－1在上有解．方程可化为ax0＋a－1＝－.设f(x0)＝ax0＋a－1，g(x0)＝－，作图可知1≤a≤.另法：方程可化为a＝.求函数t(x0)＝在x0∈上的值域即可．
