第84讲二项式定理的应用【知识要点】1、二项式定理：①项数：展开式中总共有项，而不是项；②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改.与是不同的；③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列.的指数从逐项减到，是升幂排列.各项的次数和等于.2、二项式通项公式：（）（1）它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；（2）其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；（3）注意.3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.即=.（2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大.（3）所有二项式系数的和等于，即奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即4、二项展开式的系数的性质：对于，5、证明组合恒等式常用赋值法.6、二项式系数展开式的系数最大项和二项式系数最大项.（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.（2）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来.【方法讲评】应用一利用通项公式求的系数解题方法直接代二项式展开式的通项，再化简.【例1】在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？【点评】（1）要理解二项式的展开式的系数的定义，它指的是除去，剩下的所有部分，而二项式的系数则指的是通项里的组合数.(2)二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.【反馈检测1】已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512．（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；（2）求展开式中项的系数．应用二求二项式展开式的有理数项解题方法先求二项式的展开式的通项，再化简，再令的指数为整数解答.【例2】求二项式展开式中的有理项.【点评】有理项指的是的指数为整数，可以是正整数，也可以是负整数和零.【反馈检测2】已知的展开式中的二项式系数之和为.（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项.应用三求二项式展开式的系数最大的项和二项式系数最大的项解题方法（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.（2）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来.【例3】已知二项式．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．（2），解得，设项系数最大，由于，，第11项最大．【点评】（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.（2）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来.【反馈检测3】已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；．（3）求的值.应用四求展开式的系数.解题方法一般把三项式变成二项式，再代二项式展开式的通项公式解答.【例4】求当的展开式中的一次项的系数.【点评】（1）对于三项式的展开式教材上没有讲过，教材上只讲了二项式的展开式.所以我们可以想办法把三项式转化成二项式，再利用二项式的展开式的性质解答.(2)对于三项式的展开式的研究，一般转化成二项式的展开式研究，实际上就是数学的一个转化的思想的运用,把陌生的转化为熟悉的问题解答.【反馈检测4】展开式中常数项为（）A．252B．－252C．160D．－160应用五两个二项式相乘的系数...
