课时作业26一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A.sinxB.xexC.x3－xD.lnx－x解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.答案：B2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．答案：A3．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是()A．(π，2π)B．(0，π)C．(，π)D．(0，)解析：∵f(x)＝2cos2x＋1＝2＋cos2x，x∈(0，π)，∴f′(x)＝－2sin2x.令f′(x)>0，则sin2x<0.又x∈(0，π)，∴0<2x<2π.∴π<2x<2π，即0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.答案：D二、填空题5．函数f(x)＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是_____．解析：令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1.答案：(－∞，－)，(1，＋∞)6．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为________．解析：函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得函数y＝x21－lnx的单调递减区间是00；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)(－1,0)三、解答题8．证明：函数f(x)＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．证明：函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．9．判断函数f(x)＝－1在(0，e)及(e，＋∞)上的单调性．解：f′(x)＝＝.当x∈(0，e)时，lnx0，x2>0，∴f′(x)>0，f(x)为增函数．当x∈(e，＋∞)时，lnx>lne＝1,1－lnx<0，x2>0，∴f′(x)<0，f(x)为减函数．23
