第4讲数列求和1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为()A．380－B．400－C．420－D．440－解析：选C.令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3＝2×－3×＝420－.2．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为()A．120B．99C．11D．121解析：选A.an＝＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.3．(2019·江西师大附中调研)定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝()A.B.C.D.解析：选C.由定义可知a1＋a2＋…＋an＝5n2，a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝5(n＋1)2，可求得an＋1＝10n＋5，所以an＝10n－5，则bn＝2n－1.又＝，所以＋＋…＋＝(－＋－…－＋－)＝＝.4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝()A．－30B．－60C．90D．120解析：选D.由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S60＝8×15＝120.5．(2019·湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为()A．1026B．1025C．1024D．1023解析：选C.因为＝1＋，所以Tn＝n＋1－，所以T10＋1013＝11－＋1013＝1024－，又m>T10＋1013，所以整数m的最小值为1024.故选C.6．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.答案：607．设函数f(x)＝＋log2，定义Sn＝f＋f＋…＋f，其中n∈N*，且n≥2，则Sn＝________．解析：因为f(x)＋f(1－x)＝＋log2＋＋log2＝1＋log21＝1，所以2Sn＝＋＋…＋＝n－1.所以Sn＝.答案：8．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，则第n年初M的价值an＝________．解析：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，所以an＝120－10(n－1)＝130－10n(n≤6且n∈N*)；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列，又因为a6＝70，所以an＝70×(n≥7且n∈N*)．答案：9．(2018·高考天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．解：(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.所以，Tn＝＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n.所以，Sn＝.(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以，n的值为4.10．(2019·长沙市统一模拟考试)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，设{bn}的前n项和为Sn.求最小的正整数n，使得Sn>.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意有，解得a1＝1，d＝2，从而{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.(2)因为bn＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝1－，令1－>，解得n>1008，故取n＝1009.1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝28，S10＝310.记函数f(n)＝Sn(n∈N*)，A(n，f(n))，B(n＋1，f(n＋1))，C(n＋2，f(n＋2))是函数f(n)上的三点，则△ABC的面积为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.因为a5＝28，S10＝310.所以解得a1＝4，d＝6.所以an＝4＋(n－1)×6＝6n－2.所以Sn＝4n＋×6＝3n2＋n.所以A，B，C的坐标分别为(n，3n2＋n)，(n＋1，3(...
