3.1.2空间向量的基本定理自我小测1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则()A．m，n，p共线B．m与p共线C．n与p共线D．m，n，p共面2．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c3．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，且有6OP＝OA＋2OB＋3OC，则()A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面4．三射线AB，BC，BB1不共面，若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分，且AC1＝xAB＋2yBC＋3zCC1，那么x＋y＋z的值为()A．1B.C.D.5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()A.B.C．－D．－6．已知G是△ABC的重心，点O是空间任意一点，若OA＋OB＋OC＝λOG，则λ＝__________.7．在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.8．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C，则x＋y＋z等于__________．9．已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量OE＝kOA，OF＝kOB，OG＝kOC，OH＝kOD.求证：(1)点E，F，G，H共面；(2)AB∥平面EFGH.10．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.12参考答案1．解析：p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．答案：D2．解析：B1M＝B1B＋BM＝A1A＋BD＝A1A＋(B1A1＋B1C1)＝－a＋b＋c.∴应选A.答案：A3．解析：由6OP＝OA＋2OB＋3OC，得OP－OA＝2(OB－OP)＋3(OC－OP)，即AP＝2PB＋3PC，∴AP，PB，PC共面．又它们有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．答案：B4．解析：由题意知AB，BC，BB1不共面，四边形BB1C1C为平行四边形，CC1＝BB1，∴{AB，BC，CC1}为一个基底．又由向量加法AC1＝AB＋BC＋CC1，∴x＝2y＝3z＝1.∴x＝1，y＝，z＝，∴x＋y＋z＝.答案：D5．解析：如图，CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，∴λ＝.答案：A6．答案：37．解析：设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，AE＝a＋b，AF＝a＋b，∴λAE＋μAF＝λ＋μ＝a＋b，∴a＋b＝a＋b，∴∴∴λ＋μ＝.答案：38．解析：如图，AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋BC＋(－1)·C1C，又已知AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C，∴x·AB＋2y·BC＋3z·C1C＝AB＋BC＋(－1)·C1Cx＝1，y＝，z＝－，∴x＋y＋z＝1＋－＝.答案：9．思路分析：(1)要证E，F，G，H四点共面，可先证向量EG，EF，EH共面，即只需证EG可以用EF，EH线性表示；(2)可证明AB与平面EFGH中的向量EF或EG，EH之一共线．证明：(1)∵OA＋AB＝OB，∴kOA＋kAB＝kOB.而OE＝kOA，OF＝kOB，∴OE＋kAB＝OF.又OE＋EF＝OF，∴EF＝kAB.同理：EH＝kAD，EG＝kAC.∵ABCD是平行四边形，∴AC＝AB＋AD，∴＝＋，即EG＝EF＋EH.又它们有同一公共点E，∴点E，F，G，H共面．(2)由(1)知EF＝kAB，∴AB∥EF.又AB⊄平面EFGH，∴AB与平面EFGH平行，即AB∥平面EFGH.10．证明：B1C＝B1O＋OC1＋C1C＝B1O＋OC1＋D1D＝B1O＋OC1＋D1O＋OD.∵O是B1D1的中点，∴B1O＋D1O＝0，∴B1C＝OC1＋OD.4∴B1C，OC1，OD共面，且B1C⊄平面OC1D.∴B1C∥平面ODC1.5
