2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析：A中a·b＝0，则a⊥b，故A错误．B正确．C中a2＝b2，则|a|＝|b|，故C错误．D中a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0不一定b＝c.故D错误．答案：B2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于()A.B．97C.D．61解析：|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a|×|b|cos60°＝97－12×2×3×＝61.所以|2a－3b|＝.答案：C3．已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6B．6C．12D．144解析：PC＝PA＋AB＋BC，|PC|2＝|PA|2＋|AB|2＋|BC|2＋2PA·AB＋2PA·BC＋2AB·BC＝3×62＋2×6×6×＝4×62，∴|PC|＝12.答案：C4．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：AB＝AC＋CD＋DB，∴AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋CD2＋DB·CD＝0＋12＋0＝1，又|AB|＝2，|CD|＝1，∴cos〈AB，CD〉＝＝＝.∴a与b所成的角是60°.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是________．解析：AC1＝AB＋AD＋AA1.∴|AC1|2＝|AB|2＋|AD|2＋|AA1|2＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝1＋1＋1＋1＋1＋1＝6.∴AC1的长为.答案：6．a，b是两个非零向量，现给出以下命题：①a·b>0⇔〈a，b〉∈；②a·b＝0⇔〈a，b〉＝；③a·b<0⇔〈a，b〉∈；④|a·b|＝|a||b|1⇔〈a，b〉＝π.其中正确的命题有________．解析：利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作判断．∵a，b为非零向量，∴|a|≠0，|b|≠0.又∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉且0≤〈a，b〉≤π，于是a·b>0⇔cos〈a，b〉⇔〈a，b〉∈；a·b＝0⇔cos〈a，b〉＝0⇔〈a，b〉＝；a·b<0⇔cos〈a，b〉<0⇔〈a，b〉∈.因此，命题①②③均为真命题．∵|a·b|＝|a||b|⇔|cos〈a，b〉|＝1⇔〈a，b〉＝0或π.∴|a·b|＝|a||b|⇔〈a，b〉＝π不正确，即命题④为假命题．答案：①②③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.证明：MN·AB＝(MB＋BC＋CN)·AB＝·AB＝·AB＝a2＋a2cos120°＋a2cos60°－a2cos60°＝0，所以MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．解析：∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0.同理AC·BA＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈BA，CD〉＝60°或〈BA，CD〉＝120°.又BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|2＝|BA|2＋|AC|2＋|CD|2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉∴当〈BA，CD〉＝60°时，|BD|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈BA，CD〉＝120°时，|BD|2＝2，此时B，D间的距离为.9．(10分)如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120°.2(1)求AC1的长；(2)证明AC1⊥BD；(3)求直线BD1与AC所成角的余弦值．解析：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝a，|c|＝b，〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝120°，所以a·b＝0，a·c＝|a||c|cos120°＝－ab，b·c＝|b||c|·cos120°＝－ab.(1)∵AC1＝AB＋BC＋CC1，又∵AB＝a，BC＝AD＝b，CC1＝AA1＝c，∴AC1＝a＋b＋c.又∵|AC1|2＝AC12＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c，∴|AC1|2＝a2＋a2＋b2＋2×0＋2×＋2×＝2a2－2ab＋b2.∴AC1的长|AC1|＝.(2)证明：∵BD＝AD－AB＝－a＋b，∴AC1·BD＝(a＋b＋c)·(－a＋b)＝－a2＋b2－a·c＋b·c.∵a·c＝b·c，∴AC1·BD＝－a2＋a2＝0.∴AC1⊥BD.∴AC1⊥BD.(3)∵AC＝AB＋BC，BD1＝BA＋AA1＋A1D1，∴AC＝a＋b，BD1＝－a＋b＋c，∴AC·BD1＝(a＋b)·(－a＋b＋c)＝－a2＋b2＋a·c＋b·c，|AC|＝＝，|BD1|＝＝.又∵|a|＝|b|＝a，|c|＝b，a·b＝0，a·c＝b·c＝－ab，∴AC·BD1＝－a2＋a2－ab＝－ab.|AC|＝＝a，|BD1|＝＝.∵cos〈AC，BD1〉＝，∴cos〈AC，BD1〉＝＝·＝.又∵直线BD1与AC所成角为θ，°0<θ≤90°，∴直线BD1与AC所成角的余弦值为.3
