高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值课堂探究 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学试题VIP免费

3.3.2利用导数研究函数的极值课堂探究探究一求函数的极值解决求函数的极值问题，按照求函数极值的一般步骤求解即可，解答此类问题要注意，f′(x)＝0只是函数在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右两侧导数值异号，才能判断函数在x0处取得极值．函数f(x)在某个区间上连续时，它的极值点分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，即极大值点与极小值点是交替出现的．【典型例题1】求下列函数的极值：(1)y＝f(x)＝3x3－x＋1；(2)f(x)＝x2ex.思路分析：首先对函数求导，求得f′(x)，然后求方程f′(x)＝0的根，再检验方程根的左右两侧导数f′(x)的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．解：(1)y′＝9x2－1，令y′＝0，解得x1＝，x2＝－.当x变化时，y′和y的变化情况如下表：x－y′＋0－0＋y单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x＝－时，y有极大值，并且y极大值＝.而当x＝时，y有极小值，并且y极小值＝.(2)函数的定义域为R.f′(x)＝2xex＋x2·ex＝ex·x(2＋x)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值0单调递增由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝.探究二求函数的最值利用导数求函数的最值，实质是通过比较某些特殊的函数值来得到最值，因此我们在用导数求极值的基础上进行变通．令f′(x)＝0得到方程的根x1，x2，…，直接求得函数值f(x1)，f(x2)，…，然后与端点的函数值比较就可以了，也可以用导数法与函数的单调性相结合求最值．【典型例题2】求下列函数的最值：(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，]；(2)f(x)＝－x3＋2x2＋3，x∈[－3,2]．思路分析：使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3.令f′(x)＝－3(x2－1)＝0,得x＝±1，f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(－)＝0，f()＝0.故f(x)的最大值为2，最小值为－2.1(2)f′(x)＝－3x2＋4x，由f′(x)＝x(4－3x)＝0，得x＝0，或x＝.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3,0)02f′(x)－0＋0－f(x)48极小值3极大值3故当x＝－3时，f(x)取最大值48；当x＝0或x＝2时，f(x)取最小值3.探究三求参数的取值已知函数的极值确定函数的系数问题为逆向思维的问题．解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．【典型例题3】设函数f(x)＝2ax－＋lnx，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值，(1)求a，b的值；(2)在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值．思路分析：(1)可以由条件列出关于a，b的方程组求解；(2)存在x0使不等式c≥f(x0)成立，含义是函数f(x)的图象上至少有一点在直线y＝c的下方，也就是说只需c≥f(x)min.解：(1)因为f(x)＝2ax－＋lnx，所以f′(x)＝2a＋＋.因为f(x)在x＝1，x＝处取得极值，所以f′(1)＝0，f′＝0.即2102420abab＋＋＝，＋＋＝，解得1,31,3ab所以a，b的值分别为－，－.(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，由(1)知f(x)＝－x＋＋lnx.由f′(x)＝－－＋＝－＝－，所以当x∈时，f′(x)＜0，故f(x)在上单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，故f(x)在上单调递增；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(1,2)上单调递减．所以f是f(x)在上的极小值，而f＝＋ln＝－ln2，f(2)＝－＋ln2，且f－f(2)＝－ln4＝ln32e－ln4，又e3－16＞0，所以ln32e－ln4＞0，所以在上f(x)min＝f(2)，2所以c≥f(x)min＝－＋ln2.所以c的取值范围为，所以c的最小值为－＋ln2.探究四易错辨析易错点忽视对极值点的验证【典型例题4】已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，求a，b的值．错解：f′(x)＝3x2－2ax－b.由题意得3－2a－b＝0，1－a－b＋a2＝10，解得或错因分析：在x＝1处有极值10，则x＝1是f′(x)＝0的根．但f′(x)＝0的根并不一定是极值点，故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x＝1处有极值．正解：f′(x)＝3x2－2ax－b.由题意得3－2a－b＝0,1－a－b＋a2＝10，解得或当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f(x)单调递增，不存在极值，故应舍去．当a＝－4，b＝11时，满足题意．所以a＝－4，b＝11.3