1.5.3微积分基本定理课时目标1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.微积分基本定理对于被积函数f(x),如果F′(x)=f(x),那么ʃf(x)dx=__________,即ʃF′(x)dx=__________.一、填空题1.=________.2.若ʃ(2x+k)dx=2,则k=________.3.ʃxsinαdx=________.4.由直线x=,x=2,曲线y=及x轴所围图形的面积为________.5.在下面所给图形的面积S及相应表达式中,正确的是________.(填序号)S=ʃ[f(x)-g(x)]dxS=ʃ(2x-2x+8)dx①②③④6.若ʃ(2xk+1)dx=2,则k=________.7.定积分ʃdx的值为________.8.定积分的值为__________.二、解答题9.求下列定积分:(1)ʃ(x2-x)dx;(2).110.计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成图形的面积.能力提升11.ʃdx=________.12.求c的值,使ʃ(x2+cx+c)2dx最小.1.f(x)在某个区间上的定积分,关键是求出函数f(x)的一个原函数,要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.2.求定积分一定要结合几何意义.利用图形的面积可以求一些定积分的值.答案知识梳理F(b)-F(a)F(b)-F(a)作业设计1.π+2解析取F(x)=x+sinx,则F′(x)=1+cosx.∴=F-F=+sin-=π+2.2.1解析取F(x)=x2+kx,则F′(x)=2x+k,∴ʃ(2x+k)dx=ʃF′(x)dx=F(1)-F(0)=k+1=2,∴k=1.3.(b2-a2)sinα4.2ln2解析如图,由图可知S=,取F(x)=lnx,则F′(x)=.∴S===F(2)-F=ln2-ln=2ln2.5.③④解析①应是S=ʃ[f(x)-g(x)]dx,②应是S=ʃ2dx-ʃ(2x-8)dx,③和④正确.6.1解析∵ʃ(2xk+1)dx=ʃ2xkdx+ʃdx=2ʃxkdx+ʃdx=+1=2,∴=1,即k=1.7.ln2解析∵′=,∴ʃdx=ln2.8.2(-1)解析dx2=dx=|cosx-sinx|dx=(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx=2(-1).9.解(1)取F(x)=x3-x2,则F′(x)=x2-x,从而ʃ(x2-x)dx=ʃF′(x)dx=F(1)-F(0)=-=-.(2)取F(x)=x2-cosx,则F′(x)=3x+sinx,从而(3x+sinx)dx=F-F(0)=-=π2+1.10.解由解得x=0或x=3.如图所示从而所求图形的面积S=ʃ(x+3)dx-ʃ(x2-2x+3)dx.取F1(x)=x2+3x,F2(x)=x3-x2+3x,则F1′(x)=x+3,F2′(x)=x2-2x+3,∴S=ʃF1′(x)dx-ʃF2′(x)dx=[F1(3)-F1(0)]-[F2(3)-F2(0)]=[(×32+3×3)-(×02+3×0)]-[(×33-32+3×3)-0]=.∴所求图形的面积为.11.ln212.解令y=ʃ(x2+cx+c)2dx=ʃ(x4+2cx3+c2x2+2cx2+2c2x+c2)dx.取F(x)=x5+cx4+c2x3+cx3+c2x2+c2x,则F′(x)=x4+2cx3+c2x2+2cx2+2c2x+c2,∴y=ʃF′(x)dx=F(1)-F(0)=c2+c+,令y′=c+=0,得c=-,所以当c=-时,y最小.3