课时分层作业(十七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于()A．4B．7C．5D．8D[将椭圆的方程转化成标准形式为＋＝1.由题意知m－2＞10－m＞0，即6＜m＜10.由()2－()2＝22，解得m＝8，满足题意．]2．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是()A．8B．2C．10D．4A[由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤2＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)．3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为()A．2B．4C．8D．2B[因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.]二、填空题4．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．[解析]∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为＋＝1，∴有解得0PF2，由条件知PF1－PF2＝2，又PF1＋PF2＝2a＝8，解得PF1＝5，PF2＝3.又∵F1F2＝2c＝2＝4，∴F1F＋PF＝PF，故△PF1F2是直角三角形．[答案]直角6．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．[解析]根据椭圆定义有因此|PF1|＝4，|PF2|＝3.又因为|F1F2|＝5，因此△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝×3×4＝6.[答案]67．过点(，－)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．[解析]椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.由c2＝a2－b2，可得b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.1[答案]＋＝18．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．[解析]设椭圆的另一焦点为F2，由条件可知PF2∥OM，∴PF2⊥x轴．设P点纵坐标为y，则由＋＝1，得y＝±，∴点M的纵坐标为±.[答案]±三、解答题9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，求b的值．[解]如图所示，PF1⊥PF2，F1F2＝2c，根据椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝2a，在Rt△F1PF2中，PF＋PF＝4c2.又S△PF1F2＝PF1·PF2＝9，即PF1·PF2＝18.∴(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝4c2＋36＝4a2，∴4a2－4c2＝36，即a2－c2＝9，即b2＝9，∴b＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围；(2)若椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0，)，求k的值．[解](1)原方程可化为＋＝1.∵其表示焦点在x轴上的椭圆，∴解得k>1.故k的取值范围是(1，＋∞)．(2)原方程可化为＋＝1.由题意得即故k的值为－1或－.[能力提升练]1．以圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点的椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D．x2＋＝1B[由已知c＝1，且焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1，将点代入求得a2＝4或a2＝(舍去)．故所求椭圆的标准方程为＋＝1.]2．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与x轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．[解析]由题意知椭圆焦点在x轴上，设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件得解得a＝4，c＝2，b2＝12.故所求方程为＋＝1.[答案]＋＝13．“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件．[解析]由方程mx2＋ny2＝1，得＋＝1，所以要使2方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，则即m>0，n>0且m≠n.所以“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．[答案]必要不充分4．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，焦距为6，求实数m的值．[解]①当椭圆焦点在x轴上时，由2c＝6，得c＝3.由椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，得a2＝25，b2＝m2，所以m2＝25－9＝16.因为m>0，所以m＝4.②当椭圆焦点在y轴上时，由2c＝6，得c＝3.由椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，得a2＝m2，b2＝25，所以m2＝25＋9＝34.因为m>0，所以m＝.综上所述，实数m的值为4或.3
