高考数学总复习 第三章 三角函数、解三角形 22 正弦定理和余弦定理课时作业 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业22正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝，a＝3，c＝4，则sinA＝()A.B.C.D.解析： ＝，即＝，又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，∴sinA＝，故选B.答案：B2．(2018·济南模拟)在△ABC中，AC＝，BC＝1，B＝60°，则△ABC的面积为()A.B．2C．2D．3解析：本题考查余弦定理、三角形的面积公式．在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即()2＝AB2＋12－2×1×ABcos60°，解得AB＝4，所以△ABC的面积为S＝AB·BCsinB＝×4×1×sin60°＝，故选A.正确利用余弦定理求解三角形的边长是解题的关键．答案：A3．(2018·重庆适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为()A.B.C.D.解析：依题意得cosC＝＝，C是三角形内角，即C＝60°，因此△ABC的面积等于absinC＝××＝，选B.答案：B4．(2018·张掖市第一次诊断考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB为()A.B.C.D.解析：由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a， cosB＝＝＝，∴sinB＝＝.答案：A5．(2018·太原五中检测)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为()A.B.C．2D．2解析：因为S△ABC＝bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3①.因为△ABC是锐角三角形，所以cosA＝，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b2＋c2－2×3×，所以b2＋c2＝6②.联立①②，解得b＝c＝，故选A.答案：A二、填空题6．(2017·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.解析：方法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.方法二： 在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0∠BDC＝，所以∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×××＝2，所以AB＝，所以∠ABC＝，在△BCD中，＝，即＝，解得CD＝.答案：8．(2018·深圳调研)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即△ABC的面积S＝，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若b＝2，且tanC＝，则△ABC的面积S的最大值为________．解析：本题考查数学文化、三角恒等变换、正弦定理、三角形的面积公式、二次函数的图象与性质．由tanC＝＝，可得sinC＝(sinBcosC＋cosBsinC)＝sin(B＋C)＝sinA，结合正弦定理可得c＝a，而S＝＝＝≤，当且仅当a＝2，c＝2时，等号成立，故△ABC的面积S的最大值为.答案：三、解答题9．(2018·山东师大附中一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解析：(1) bsinA＝acosB，由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝，B∈(0，π)，∴B＝.(2) sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB即9＝a2＋4a2－2a·2acos，解得a＝，∴c＝2a＝2.10．(2017·新课标全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解析：(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理得sinCsinB＝.故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.又B＋C∈(0，π)所以B＋C＝，故A＝.由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b...