4.3.1利用导数研究函数的单调性[A基础达标]1．函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是()A．(－∞，0)B．(0，1)C．(1，4)D．(0，＋∞)解析：选D.f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex，令f′(x)>0，解得x>0，故选D.2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(0，1)B．(0，1)和(－∞，－1)C．(0，1)∪(1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选A.y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－＝＜0，所以0＜x＜1.所以选A.3．y＝xlnx在(0，5)上是()A．增函数B．减函数C．在上是减函数，在上是增函数D．在上是增函数，在上是减函数解析：选C.y′＝lnx＋1，令y′＝0，则x＝，当0＜x＜时，y′＜0；当x＞时，y′＞0，所以函数y＝xlnx在上为减函数，在上为增函数．4．已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为()A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数D．f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数解析：选C.f′(x)＝′＝′－x′＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，选C.5．函数f(x)＝x＋cosx的一个单调递增区间为()A.B.C.D.解析：选A.由f(x)＝x＋cosx得f′(x)＝－sinx，当x∈时，f′(x)>0，故函数f(x)＝x＋cosx的一个单调递增区间为.故选A.6．函数f(x)＝2x3－3x2＋1的增区间是________，减区间是________．解析：因为f′(x)＝6x2－6x，令f′(x)>0，得x<0或x>1，令f′(x)<0，得00，(x－2)2>0.令f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)．10．已知函数f(x)＝lnx－.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x>1时，f(x)0得解得01时，F(x)1时，f(x)f()2D．f()，f()的大小关系无法确定解析：选C.f′(x)＝＝，当x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为<<1，所以f()>f()．故选C.12．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．解析：因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．答案：(－∞，－1)∪(0，1)13．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a的取值范围．解：法一：如图所示，f′(x)＝(x－1)·[x－(a－1)]．若在(1，4)内f′(x)≤0，在(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4，6]上．所以即所以5≤a≤7.即a的取值范围为[5，7]．法二：f′(x)＝x2－ax...
