热点探究训练(四)立体几何中的高考热点问题1．如图9所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：图9(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.【导学号：51062255】[证明](1)如图，建立空间直角坐标系Axyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，3分∴DE＝(－2,4,0)，NC＝(－2,4,0)，∴DE＝NC，∴DE∥NC.又 NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC.故DE∥平面ABC.6分(2)B1F＝(－2,2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2,2,0)．B1F·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，B1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.12分∴B1F⊥EF，B1F⊥AF，即B1F⊥EF，B1F⊥AF.又 AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.15分2．(2017·绍兴模拟)如图10，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.图10(1)求证：EG⊥DF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值．[解](1)证明：连接AC，由AE綊CG可得四边形AEGC为平行四边形，所以EG∥AC，而AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，3分因为BD∩BF＝B，所以EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，所以EG⊥DF.6分(2)设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得，平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，1所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP綊AE，从而OP⊥平面ABCD.9分又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直．由平面几何知识得BF＝2.如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2,0)，E(2，0,3)，F(0,2,2)，P(0,0,3)，所以BE＝(2，－2,3)，PE＝(2，0,0)，PF＝(0,2，－1).12分设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，由可得令y＝1，则z＝2，所以n＝(0,1,2)．设BE与平面EFGH所成角为θ，则sinθ＝＝.故直线BE与平面EFGH所成角的正弦值为.15分3．如图11，直角三角形ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝90°，AB＝2，E为线段BC上一点，且BE＝BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．图11(1)求证：BD⊥PE；(2)当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角CPBD的余弦值．[解]由已知得DC＝PD＝PB＝BD＝2，BC＝2.1分(1)证明：取BD的中点O，连接OE，PO. OB＝1，BE＝且∠OBE＝30°，∴OE＝，∴OE⊥BD.3分 PB＝PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE＝O，∴BD⊥平面POE，∴BD⊥PE.6分(2) 平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，∴OE，OB，OP两两垂直，如图以O为坐标原点，以OE，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，2则B(0,1,0)，P(0,0，)，C(，－2,0)，∴BP＝(0，－1，)，BC＝(，－3,0).9分设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则∴不妨令y＝，得n＝(3，，1).12分又平面PBD的一个法向量为m＝(1,0,0)，∴cos〈m，n〉＝，故二面角CPBD的余弦值为.15分4．在如图12所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的—条母线.图12(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角FBCA的余弦值.【导学号：51062256】[解](1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GI∥EF.2分又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.6分(2)法一：连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B(0,2，0)，C(－2，0,0)．3过点F作FM⊥OB于点M，所以FM＝＝3，可得F(0，，3).9分故BC＝(－2，－2，0)，BF＝(0，－，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．由可得12分可得平面BCF的一个法向量m＝.因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝＝，所以二面角FBCA的余弦值为.15分法二：如图，连接OO′，过点F作FM⊥OB于点M，则有FM∥OO′.又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝＝3.9分过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角FBCA的平面角．又AB＝BC，AC是圆O的直...
