【高考新坐标】2016届高考数学总复习第三章第7节正弦定理、余弦定理的应用举例课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3710所示)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m[解析]在△BCD中，由正弦定理＝，AB＝50.[答案]A2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为40°，现高不变，将倾斜角改为20°，则斜坡长为()A．1B．2sin20°C．2cos20°D．cos40°[解析]如图，∠ABC＝40°，AB＝1，∠ADC＝20°，∴∠ABD＝140°.在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AD＝AB·＝＝2cos20°.[答案]C3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m图3710到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m．100mC．120m．150m[解析]设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h.由余弦定理，(h)2＝h2＋1002－200h·cos60°，即(h－50)(h＋100)＝0，∴h＝50.故水柱的高度为50m.[答案]A4．在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m[解析]依题意画出示意图，则＝，∴CM＝×10≈37.3(m)．[答案]C5．(2015·济南调研)如图3711所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()图3711A.B.C.D.[解析]由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝.所以sinα＝，所以tanα＝＝.[答案]A二、填空题6．如图3712所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．则这条河的宽度为________m.图3712[解析]因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120m.设这条河的宽度为h，∴h＝AC·sinA＝120×＝60(m)．[答案]607．(2015·淄博质检)为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．[解析]在△BCD中，∠BDC＝45°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得＝，解得BC＝10米，在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，∴＝tan60°，则AB＝10米．[答案]108．(2015·德州联考)如图3713所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ＝________．图3713[解析]连结BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝10，由正弦定理，得＝，∴sinθ＝.[答案]三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号)图3714[解]在△ABD中， ∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.在△ABC中，＝，∴BC＝＝＝40.在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos60°＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9600.∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒．答：航模的速度为2米/秒．10．某城市有一块不规则的绿地如图3715所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.试求AB的...
