3.1.2空间向量的数乘运算[A基础达标]1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB＋(BD＋BC)等于()A.AGB.CGC.BCD.BC解析：选A.AB＋(BD＋BC)＝AB＋×(2BG)＝AB＋BG＝AG.2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则()A．λ＝μ＝0B．a＝b＝0C．λ＝0，b＝0D.μ＝0，a＝0解析：选A.因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又因为λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0.3．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD.A、C、D解析：选A.因为AB＝a＋2b.BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，所以AB∥BD，由于AB与BD有一个公共点B，所以A、B、D三点共线．4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A.OM＝3OA－2OB－OCB.OM＋OA＋OB＋OC＝0C.MA＋MB＋MC＝0D.OM＝OB－OA＋OC解析：选C.因为MA＋MB＋MC＝0，所以MA＝－MB－MC，所以M与A，B，C必共面．5．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若AB，CD共线，则AB∥CD；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若AB，CD共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C.6．化简：(a＋2b－3c)＋5(a－b＋c)－3(a－2b＋c)＝________．解析：原式＝(＋5×－3)a＋(×2－5×＋3×2)b＋(－3×＋5×－3)c＝a＋b－c.答案：a＋b－c7．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简AB＋BC－DE－AD的结果1为________．解析：如图，延长DE交边BC于点F，则AB＋BC＝AF，DE＋AD＝AD＋DF＝AF，故AB＋BC－DE－AD＝0.答案：08．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析：因为A，B，C三点共线，所以存在惟一实数k使AB＝kAC，即OB－OA＝k(OC－OA)，所以(k－1)OA＋OB－kOC＝0.又λOA＋mOB＋nOC＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.答案：09.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE＝OD＋xOB＋yOA，求x，y的值．解：因为AE＝AB＋BC＋CE＝OB－OA＋OC－OB－OC＝－OA＋OC＝－OA＋(OD＋DC)＝－OA＋(OD＋AB)＝－OA＋OD＋(OB－OA)＝－OA＋OD＋OB，所以x＝，y＝－.10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面．证明：令D1A1＝a，D1C1＝b，D1D＝c.因为M，N，P，Q均为棱的中点，所以MN＝b－a，MP＝MA1＋A1P＝a＋c，MQ＝MD1＋D1C1＋C1Q＝－a＋b＋c.令MQ＝λMN＋μMP，则－a＋b＋c＝(μ－λ)a＋λb＋μc，所以解得所以MQ＝2MN＋MP，所以向量MQ，MN，MP共面，2所以M，N，P，Q四点共面．[B能力提升]11．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6OP＝OA＋2OB＋3OC，则()A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面解析：选B.由6OP＝OA＋2OB＋3OC，得OP－OA＝2(OB－OP)＋3(OC－OP)，即AP＝2PB＋3PC，故AP，PB，PC共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面．12．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP＝OA＋OB＋λOC确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．解析：根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得OP＝xOA＋yOB＋zOC成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.答案：13．已知A，B，C三点不共线，另外一点M满足OM＝OA＋OB＋OC.(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内．解：(1)因为OA＋OB＋OC＝3OM，所以OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)＝BM＋CM.所以MA＝BM＋CM＝－MB－MC.所以向量MA，MB，MC共面．(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，所以M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．14.(选做题)如图，已知OE是平行六面体OADBCFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上．证明：如图，连接AM并延长交BC于点H，因为M是△ABC的重心，所以H为BC的中点，所以AH＝(AB＋AC)．所以AM＝AH＝(AB＋AC)＝[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝OB＋OC－OA.所以OM＝OA＋AM＝(OA＋OB＋OC)．3又因为OE＝OA＋AD＋DE＝OA＋OB＋OC，所以OM＝OE，所以点M在直线OE上．4
