高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.3 算术—几何平均不等式自我小测 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.4.3算术—几何平均不等式自我小测1若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是________．2设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝，则必有________．3已知a，b∈R＋，则≥________.4若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均值的运算，即a*b＝，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是____________________．5求证：＋a≥7(其中a＞3)．6如果a，b∈R＋，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.7已知a，b，c同号且互不相等，a＋b＋c＝1，求证∶＋＋＞9.8若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是______．9下列命题：①x＋的最小值是2；②的最小值是2；③的最小值是2；④2－3x－的最小值是2，其中正确命题的个数是________．10若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥.11设a，b，c均为正数，证明(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc.12求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．1参考答案1．3解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3＝3＝3.2．M≥8解析：M＝＝≥＝8，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．3．9解析：＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋6＝9.4．a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)解析：∵a＋(b*c)＝a＋＝，①又∵(a＋b)*(a＋c)＝＝，②由①②可知：a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．5．证明：∵a＞3，∴a－3＞0.由基本不等式得＋a＝＋a－3＋3≥2＋3＝2＋3＝7，当且仅当＝a－3，即a＝5(a＝1舍去)时，取等号．6．证明：∵a，b∈R＋，且a≠b，则a3＋b3＝[(a3＋a3＋b3)＋(a3＋b3＋b3)]＞(3＋3)＝a2b＋ab2.∴a3＋b3＞a2b＋ab2.7．证明：＋＋＝＋＋＝3＋.∵a，b，c同号且a＋b＋c＝1，∴a＞0，b＞0，c＞0.∴，，，，，均大于0.又a，b，c互不相等，∴3＋＞3＋6＝3＋6＝9.∴＋＋＞9.8．[9，＋∞)解析：令＝t(t＞0)，由ab＝a＋b＋3≥2＋3，则有t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0.解得t≥3或t≤－1(不合题意，舍去)．∴≥3.∴ab≥9，当a＝b＝3时，取等号．9．1解析：当x＜0时，x＋无最小值，∴①错误；当x＝0时，的最小值是2，∴②正确；当＝时，取得最小值2，但此时x2＝－3不成立，∴取不到最小值2，∴③错误；当x＞0时，2－3x－＜0，∴④错误．10．证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴2＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)．∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]≥3×3＝9.∴＋＋≥.11．证明：因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式，得≥，≥.两式相乘并整理，得(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc.12．证明：设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x，y，z，则长方体的体积为V＝xyz，表面积为A＝2xy＋2yz＋2xz，则A＝2xy＋2yz＋2xz≥6.而这里A为定值，即A≥6，从而有V≤，当且仅当xy＝yz＝xz，即x＝y＝z时，等号成立．所以当长方体为正方体时，体积取得最大值，最大值为.2