2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数高效测评新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析：y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)递减极小值递增极大值递减所以当x＝－1时取得极小值－1，当x＝1时取得极大值3.答案：D2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点解析：由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．答案：C3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()解析：方法一：由y＝f′(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)为减函数，只有C项符号，故选C.方法二：在导函数f′(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数f(x)在x＝0时取得极大值．又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x＝2时取得极小值，只有选项C符合，故选C.答案：C4．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a，b的值为()A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝2或a＝－4，b＝111C．a＝－4，b＝11D．以上都不对解析：f′(x)＝3x2－2ax－b，f′(1)＝0即2a＋b＝3①，f(1)＝a2－a－b＋1＝10，即a2－a－b＝9②，解由①②组成的方程组，得a＝－4，b＝11(有极值)或a＝3，b＝－3(舍去，无极值)．答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.解析：f′(x)＝＝由题意知f′(1)＝0，∴＝0，解得a＝3.经验证，a＝3时，f(x)在x＝1取得极值．答案：36．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)为三次函数，其导函数f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)为二次函数，要使函数f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2.答案：a＜－1或a＞2三、解答题(每小题10分，共20分)7．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解析：(1)因f(x)＝alnx＋＋x＋1.故f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，f′(x)＝－－＋＝＝.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，函数有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值．解析：(1)∵当x＝1时，函数有极大值3.f′(x)＝3ax2＋2bx∴2∴解之得a＝－6，b＝9.经验证a＝－6，b＝9符合题意．∴a＝－6，b＝9.(2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1.当f′(x)>0时，01.∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为f(0)＝0.☆☆☆9．(10分)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0解得x<－，或x>，由f′(x)<0解得－0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．3
