高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式课后导练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

1.2.1绝对值三角不等式课后导练基础达标1已知|a+b|=|a|+|b|,a、b∈R,则一定有…()A.ab<0B.ab>0C.ab≥0D.ab=0解析:由|a+b|=|a|+|b|,得(a+b)2=(|a|+|b|)2.∴a2+b2+2ab=a2+b2+2|ab|,即|ab|=ab.∴ab≥0.答案:C2若|a-c|<|b|,且a、b、c均为不等于零的实数,则下列不等式成立的是()A.ac-bC.|a|<|b|+|c|D.|a|>|b|>|c|解析: |a-c|≥|a|-|c|,∴|b|>|a-c|≥|a|-|c|.∴|a|<|b|+|c|.答案:C3已知函数f(x)=-2x+1,对任意实数ε,使得|f(x1)-f(x2)|<ε的一个充分但不必要的条件是()A.|x1-x2|<εB.|x1-x2|<2C.|x1-x2|<4D.|x1-x2|>4解析: |f(x1)-f(x2)|=|-2x1+2x2|=2|x1-x2|,若|x1-x2|<4,则|f(x1)-f(x2)|<2<ε.而|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|<2,∴应选C.答案:C4不等式||||||baba≤1成立的充要条件为()A.ab≠0B.a2+b2≠0C.ab>0D.ab<0解析:||||||baba≤10|||||,|||||bababa故a≠0且b≠0,∴a2+b2≠0.∴应选B.答案:B5|a|<1,|b|<1,a、b∈R,那么|a+b|+|a-b|与2的大小关系是______________-.解析:不妨设|a|≥|b|,则(|a+b|+|a-b|)2=2(a2+b2)+2|a2-b2|=2(a2+b2)+2a2-2b2=4a2<4.∴|a+b|+|a-b|<2.答案:|a+b|+|a-b|<2综合应用6不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|成立,则x的取值范围为_____________.1解析: |a+b|≤|a|+|b|取不等号“<”的条件是ab<0,又 x>0,∴原不等式等价于2x·(-log2x)<0,即log2x>0.∴x>1.∴x的取值范围为{x|x>1}.答案:{x|x>1}7已知函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R),当x∈［-1,1］时,|f(x)|≤1.(1)证明|b|≤1;(2)若f(0)=-1,f(1)=1,求实数a的值.(1)证明: x∈［-1,1］时,|f(x)|≤1,∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.而b=21［(a+b+c)-(a-b+c)］=21［f(1)-f(-1)］,∴|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21［|f(1)|+|f(-1)|］=1.(2)解析: f(0)=c=-1,f(1)=a+b-1=1,∴b=2-a.∴f(x)=ax2+(2-a)x-1. x∈［-1,1］时,|f(x)|≤1,∴|f(-1)|≤1,即|2a-3|≤1.∴1≤a≤2.f(x)的对称轴x=aa22=21-a1∈［-21,0］［-1,1］.∴|f(aa22)|≤1,整理得|aa4)2(2+1|≤1.注意到a>0,∴aa4)2(2≥0.∴aa4)2(2+1≥1.∴aa4)2(2=0.∴a=2.8(1)设p、q、x∈R,pq≥0,x≠0,求证:|px+xq|≥pq2.(2)设m是|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:|2xbxa|<2.证明:(1)pq≥0,那么(px)·(xq)≥0,∴|px+xq|=|px|+|xq|≥pqxqpx2||||2(2)m是|a|、|b|和1中最大的一个,则有m≥|a|,m≥|b|,m≥1. |x|>m≥|a|,|x|>m≥|b|,|x|>m≥1,就有|x|2>|b|,2∴|2xbxa|≤||||2xbxa=||||2xbxa<||||||||22xxxx=2.9(1)a、b∈R,且|a|≠|b|,求证:||||22aba≥|a|-|b|.(2)a、b∈R,c>0,求证:|a+b|2≤(1+c)|a|2+(1+c1)|b|2.证明:(1)观察要证的不等式的左、右端,可以发现应用不等式|a-b|≥|a|-|b|的可能性. ||||22aba=|||||||22aba=||||||||aba·(|a|+|b|)=||a|-|b||(1+||||ab)≥||a|-|b||≥|a|-|b|.∴原不等式成立.(2)右式=|a|2+|b|2+c|a|2+c1|b|2≥|a|2+|b|2+)||1(|)|(222bcac=(|a|+|b|)2≥|a+b|2=左边,∴原不等式成立.拓展探究10对定义在［-1,1］上的函数f(x),若存在常数A>0,使得对任意x1、x2∈［-1,1］,都有|f(x1)-f(x2)|≤A·|x1-x2|,则称f(x)具有性质L.问函数f(x)=x2+3x+5与g(x)=|||x是否具有性质L?试证明之.思路分析:要确定一个函数具有性质L,其关键是要能找到满足题设条件中的常数A,而要确定一个函数不具有性质L,则一般需通过反证法来证明或寻找一个反例.解析:(1)对于f(x)=x2+3x+5,任取x1、x2∈［-1,1］,|f(x1)-f(x2)|=|x12-x22+3(x1-x2)|=|(x1-x2)(x1+x2+3)|=|x1-x2|·|x1+x2+3|≤|x1-x2|·(|x1|+|x2|+3)≤5|x1-x2|.∴存在A=5,使f(x)具有性质L.(2)对于g(x)=||x,设它具有性质L,任取x1、x2∈［0,1］,则|g(x1)-g(x2)|=|||1x-3||2x|=||||||||||||||||21212121xxxxxxxx≤A|x1-x2|,∴A≥||||121xx,||||121xxA≤2.∴A1∈(0,2］.取x1=241A≤1,x2=411612A,有AAAAxx1434121||||21,与||||21xx≥A1矛盾,故g(x)=||x不具有性质L.备选习题11已知f(x)=-x2,x∈［0,1］,对于x1、x2∈［0,1］,则|f(x1)-f(x2)|的最大值为________解析:画出函数y=-x2的图象,在x∈［0,1］上,函数单调递减.f(x)max=f(0)=...