专题：矩阵与变换（一）题1曲线x2＋4xy＋2y2＝1在二阶矩阵M＝的作用下变换为曲线x2－2y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求M的逆矩阵M－1.题2已知矩阵M＝，向量a＝，求M3a.题3.已知矩阵A＝，求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量a1，a2.题4.已知矩阵M有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝，并有特征值λ2＝－1及对应的一个特征向量e2＝，求矩阵M及M2010e2.课后练习详解题1答案：（1）；（2）.详解：(1)设P(x，y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上与P对应的点，则＝，即代入曲线x2－2y2＝1，得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，即(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，与方程x2＋4xy＋2y2＝1比较，得解得(2)因为矩阵M的行列式＝1≠0，故M－1＝＝.题2答案：.详解：∵M3＝＝＝，∴M3a＝＝.题3答案：a1＝；a2＝.详解：矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－3)(λ＋1)，令f(λ)＝0，得到矩阵A的特征值为λ1＝3，λ2＝－1.当λ1＝3时，由＝3，得∴y＝0，取x＝1，得到属于特征值3的一个特征向量a1＝；当λ2＝－1时，由＝－，得取x＝1，则y＝－4，得到属于特征值－1的一个特征向量a2＝.题4.答案：M＝，M2010e2＝.详解：设M＝，则＝4，即.①又＝(－1)，即.②由①②得a＝1，b＝3，c＝2，d＝2，所以M＝，则M2010e2＝λe2＝(－1)2010＝.
