课时达标检测（四十）空间向量及其运算和空间位置关系[练基础小题——强化运算能力]1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，如果a与b为共线向量，则()A．x＝1B．x＝C．x＝D．x＝－解析：选C a与b共线，∴＝＝，∴x＝.2．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)解析：选B由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．3．空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为()A．共线B．共面C．不共面D．无法确定解析：选C＝(2,0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使＝λ成立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设＝x＋y(x，y为实数)，即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面，故选C.4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是()A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝解析：选D设＝a，＝b，＝c， G分MN的所成比为2，∴＝，∴＝＋＝＋(－)＝a＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，即x＝，y＝，z＝.5．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．解析：cos〈a，b〉＝＝－.答案：－[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析：选B如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝()A．9B．－9C．－3D．3解析：选B由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为()A．a2B.a2C.a2D.a2解析：选C·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.4．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析：选C n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n1与n2不垂直，又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直．5.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c解析：选A＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.6.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C．1D.解析：选D ＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.二、填空题7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，，)．答案：(0，，)8．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________．解析：设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)，＝(－1－x,3－y,4－z)，由＝2得点P坐标为－，，3，又D(1,1,1)，∴||＝.答案：9．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．解析：由题意知·＝0，||＝||，又＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)，∴解得x＝2.答案：210．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．解析：由题意，设＝λ，则＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.答案：三、解答题11.如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面...
