课堂达标(二十二)正弦定理和余弦定理及应用[A基础巩固练]1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()A．5B．10C.D．5[解析]由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得＝，即＝，∴c＝.[答案]C2．(2017·山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A[解析]sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC⇒2sinB＝sinA⇒2b＝a，选A.[答案]A3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5B．15C．5D．15[解析]在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.[答案]D4．(2018·湖南衡阳第二次联考)已知△ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是()A.B.C.D.[解析]设三边：x－1，x，x＋1，所以：＝＝，所以：cosA＝＝⇒x＝5，三边为：4,5,6，所以cosA＝.[答案]B5．(2018·西安模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[解析]由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，1即sinA＝sin2A，在三角形中sinA≠0，∴sinA＝1，∴A＝90°，由sin2B＝sin2C，知b＝c，综上可知△ABC为等腰直角三角形．[答案]D6．(2018·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)
0.则cosA＝>0， 0.因此角A的取值范围是.[答案]D7．在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A、B、C的度数依次是______．[解析]由题意知a＝b，a2＝b2＋c2－2bccosA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋bc，∴cosA＝，A＝45°，sinB＝，B＝30°，∴C＝105°.[答案]45°，30°，105°8．(2018·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为__________．[解析]由余弦定理，得＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴sinB＝，∴B＝或.[答案]或9．(2017·浙江)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC＝______.[解析]取BC中点E，DC中点F，由题意：AE⊥BC，BF⊥CD，△ABE中，cos∠ABC＝＝，∴cos∠DBC＝－，sin∠DBC＝＝，∴S△BCD＝×BD×BC×sin∠DBC＝.又∴cos∠DBC＝1－2sin2∠DBF＝－，∴sin∠DBF＝，∴cos∠BDC＝sin∠DBF＝，综上可得，△BCD面积为，cos∠BDC＝.[答案]；10．(2018·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．2(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)求D救援中心与着陆点A间的距离．[解](1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形．在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝，又∠CAB＝90°，BC＝＝万米．(2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝，cos∠ACD＝－，又∠CAD＝30°，所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝，在△ADC中，由正弦定理，＝，得AD＝＝万米．[B能力提升练]1．(2018·贵州模拟考试)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则a的取值范围是()A．a＞2B．0＜a＜2C．2＜a＜2D．2＜a＜2[解析]由...
