高中数学 第四章 圆与方程 4.2.3 直线与圆的方程的应用课时分层作业（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

课时分层作业(二十七)直线与圆的方程的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过()A.1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米C[可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得|OD|＝＝3.6(米).]2．由y＝|x|和圆x2＋y2＝4所围成的较小扇形的面积是()A.B．πC．D．B[由题意知围成的面积为圆面积的，所以S＝πr2＝π.]3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A.10B．20C.30D．40B[圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝×10×4＝20.]4．已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A.6－2B．8C．4D．10B[点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5，7)的距离为＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.]5．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.B．1C．D．D[圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则＋d2＝r2，即l＝2＝.]二、填空题6．若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是________．－2[因为圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，所以直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，所以k＝－2.]7．圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝4与直线y＝kx的交点为P，Q，原点为O，则|OP|·|OQ|＝________．28[如图，过原点O作☉C的切线OA，连接AC，OC，在Rt△OAC中，|OA|2＝|OC|2－r2＝32－4＝28，由平面几何知识可知，|OP|·|OQ|＝|OA|2＝28.]8．方程＝x＋k有唯一解，则实数k的取值范围是________．{k|k＝或－1≤k＜1}[由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点．结合图形(图略)易得－1≤k<1或k＝.]三、解答题9．AB为圆的定直径，CD为直径，过D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．[证明]以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2＋y2＝r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，所以P(－x0，－y0－2r).所以直线CP的方程为y－y0＝(x－x0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.所以直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点．10．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：＋＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设持续时间为t，则t＝＝0.5(h)，即外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5h．1．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是()A.[－3，3]B．[－3，3]C.(－3，3]D．[－3，3)C[数形结合法，注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得，当－30)有公共点．]2．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________．∪[由题意知，AB所在直线与圆C相切或外离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以d＝≥1，即a≥或a≤－.]3．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围是半径长为20km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解]建立如图所示的直角坐标系，取10km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6，0)，(0，3)，所以轮船航线所在直线方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0，台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离d＝＝>2.所以直线x＋2y－6＝0与圆x2＋y2＝4相离，因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．