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高考数学 考点31 直线与平面所成的角试题解读与变式-人教版高三全册数学试题VIP免费

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考点31:直线与平面所成的角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】直线与平面所成的角的知识是高考的热点问题,选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用,仍然是以简单几何体为载体解决线线问题.【典型高考试题变式】(一)常规方法求解线面角例1.【2017全国2卷(理)】如图所示,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,,,,为的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)如图所示,设中点为,联结,.HQPNMFDBCEA因为,分别为,中点,所以且,又因为,,所以且,即四边形为平行四边形,所以,因此平面.是在平面上的射影,所以是直线与平面所成的角.设.在中,由,,得,在中,由,得,在中,,,所以,所以直线与平面所成角的正弦值是.【方法技巧归纳】求直线和平面所成的角,关键在于找到斜线在平面上的射影,找射影的关键在于找到平面的垂线段,得到垂足,连接斜足和垂足就是射影.【变式1】【改编例题的问法,求解线面角的其他形式】【2014四川卷(理)】如图在正方体中,点为线段的中点.设点在线段上,直线与平面所成的角为,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析:设正方体的棱长为,则,所以,.又直线与平面所成的角小于等于,而为钝角,所以的范围为,选B.【变式2】【改变例题的条件和方法,利用等体积法求解线面角的问题】【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】如图,圆锥的高,底面⊙的直径,是圆上一点,且,为的中点,则直线和平面所成角的余弦值为__________.【答案】(二)利用空间向量法求解线面角例2.【2017北京卷(理)】如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点在线段上,平面,,.(1)求证:为的中点;(2)求二面角的大小;(3)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)设交点为,联结.因为平面,平面平面,所以.因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点.OABCDEMP(2)取的中点,联结,.因为,所以.又因为平面平面,且平面,所以平面.因为平面,所以.因为是正方形,所以.如图建立空间直角坐标系,则,,,,.设平面的法向量为,则,即.令,则,.于是.平面的法向量为,所以.由题知二面角为锐角,所以它的大小为.PMEDCBAzxyO【方法技巧归纳】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式1】【改变例题的条件,求解线面角的正弦值】【2018届河南省中原名校高三第三次质量考评试卷】在三棱柱中,侧面为矩形,,,是的中点,与交于点,且平面.(1)证明:平面平面;(2)若,的重心为,求直线与平面所成角的正弦值.【解析】试题分析:(1)通过证明,,推出平面,然后证明平面平面.(2)以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面的法向量,设直线与平面所成角,利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可.试题解析:(1) 为矩形,,,是的中点,∴,,,,从而,, ,,∴,∴,∴,从而, 平面,平面,∴, ,∴平面, 平面,∴平面平面.(2)如图,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系.在矩形中,由于,所以和相似,从而,又,,∴,,,,∴,,,,, 为的重心,∴,,设平面的法向量为,,,由可得整理得令,则,,∴,设直线与平面所成角,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.【变式2】【改编例题条件和问题,求解线面角的正弦值】【2018届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考】如图所示,在已知三棱柱中,,,,平面平面,点在线段上,点是线段的中点.(1)试确定点的位置,使得平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】试题分析:(1)结合线面平行的性质和判断定理可得点为线段上靠近点的三等分点;(2)建立空间直角坐标系,结合直线的...

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