高考数学 考点31 直线与平面所成的角试题解读与变式-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点31：直线与平面所成的角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】直线与平面所成的角的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．【典型高考试题变式】（一）常规方法求解线面角例1.【2017全国2卷（理）】如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）如图所示，设中点为，联结，.HQPNMFDBCEA因为，分别为，中点，所以且，又因为，，所以且，即四边形为平行四边形，所以，因此平面.是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角.设.在中，由，，得，在中，由，得，在中，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值是.【方法技巧归纳】求直线和平面所成的角，关键在于找到斜线在平面上的射影，找射影的关键在于找到平面的垂线段，得到垂足，连接斜足和垂足就是射影.【变式1】【改编例题的问法，求解线面角的其他形式】【2014四川卷（理）】如图在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【变式2】【改变例题的条件和方法，利用等体积法求解线面角的问题】【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】如图，圆锥的高，底面⊙的直径，是圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的余弦值为__________．【答案】（二）利用空间向量法求解线面角例2.【2017北京卷（理）】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）设交点为，联结.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.OABCDEMP（2）取的中点，联结，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.PMEDCBAzxyO【方法技巧归纳】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式1】【改变例题的条件，求解线面角的正弦值】【2018届河南省中原名校高三第三次质量考评试卷】在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面．（1）证明：平面平面；（2）若，的重心为，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】试题分析：（1）通过证明，，推出平面，然后证明平面平面．（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面的法向量，设直线与平面所成角，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可．试题解析：（1） 为矩形，，，是的中点，∴，，，，从而，， ，，∴，∴，∴，从而， 平面，平面，∴， ，∴平面， 平面，∴平面平面．（2）如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．在矩形中，由于，所以和相似，从而，又，，∴，，，，∴，，，，， 为的重心，∴，，设平面的法向量为，，，由可得整理得令，则，，∴，设直线与平面所成角，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．【变式2】【改编例题条件和问题，求解线面角的正弦值】【2018届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考】如图所示，在已知三棱柱中，，，，平面平面，点在线段上，点是线段的中点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】试题分析：(1)结合线面平行的性质和判断定理可得点为线段上靠近点的三等分点；(2)建立空间直角坐标系，结合直线的...