第3课双曲线【考点导读】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质2.能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.【基础练习】1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则2.方程表示双曲线，则的范围是3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为4.已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，则双曲线的标准方程为5.过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为【范例导析】例1.(1)已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程（2）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.解：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①； 点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。将分别代入方程①中，得方程组：1将和看着整体，解得，∴即双曲线的标准方程为。点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。（2）解法一：双曲线的渐近线方程为：当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为 ，∴① 在双曲线上∴②由①－②，得方程组无解当焦点在y轴时，设双曲线方程为 ，∴③ 在双曲线上，∴④由③④得，∴所求双曲线方程为：且离心率解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为： 点在双曲线上，∴∴所求双曲线方程为：，即．点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系2方程求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数．例2.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680,c=1020，用y=－x代入上式，得， |PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.例3.双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.解：直线的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，同理得到点（－1，0）到直线的距离3yxoABCP例2由即于是得解不等式，得由于所以的取值范围是点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.反馈练习：1.双曲线的渐近线方程为2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为3.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是4.设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线左右焦点，若=3,则=75.若表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是6.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程7.已知双曲线的焦点为、，点M在双曲线上，且轴，则到直线F2M的距离为8.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是9.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为9410.（1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．（2）求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．解：（1）设所求双曲线方程为：，则，∴，∴，∴所求双曲线方程为（2） ，∴或，∴渐近线方程为当焦点在轴上...
