第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题号1234567答案1．(2013·四川绵阳一模)命题p：“∀x∈R，cosx≥1”，则綈p是()A．∃x0∈R，cosx0≥1B．∀x∈R，cosx＜1C．∃x0∈R，cosx0＜1D．∀x∈R，cosx＞1解析：根据全称命题和特称命题的否定规则知，綈p是：“∃x0∈R，cosx0＜1”．故选C.答案：C2．(2013·湖北黄冈上学期期末)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数解析：否定为“至少有一个实数的平方不是正数”．故选D.答案：D3．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，x＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分不必要条件解析：观察知，x＜2时，推不出|x|＜2.选项D错误．故选D.答案：D4．给出下面结论：①命题p：“∃x0∈R，x－3x0＋2≥0”的否定为綈p：“∀x∈R，x2－3x＋2＜0”；②命题：∃x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝1.5；③若綈p是q的必要条件，则p是綈q的充分条件；④“M＞N”是“logaM＞logaN”的充分不必要条件．其中正确结论的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：显然①③正确．∵sinx＋cosx＝sin≤，②错误．当N＜0时，logaN和logaM没有意义，④错误．故选C.答案：C5．已知命题p：幂函数的图象不过第四象限，命题q：指数函数都是增函数．则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨qB．p∧qC．(綈p)∨(綈q)D．(綈p)∧(綈q)答案：C6．下列命题中的真命题是()A．∃x0∈R，ex0≤01B．∀x∈R，2x＞x2C．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件D．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的必要不充分条件解析：对各选项逐一判断排除．∀x0∈R，ex0＞0，所以A是假命题；因为当x＝2时，有22＝22，所以B是假命题；由a＞1，b＞1可以推出ab＞1，反过来不成立，因为当a＝－2，b＝－1时，ab＝(－2)×(－1)＝2＞1，所以C是真命题；由|a·b|＝|a||b|可以推出a∥b，反过来也成立，即“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件，所以D是假命题，故选C.答案：C7．(2014·湖南卷)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈p)；④(綈p)∨q中的真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：先依据不等式的基本性质，判断命题p，q的真假，再依据复合命题的真值表，来判断相关的复合命题的真假，显然命题p为真；当x＝－1，y＝－2时，显然命题q不成立，故命题q为假，所以p∧q为假，p∨q为真，p∧(綈q)为真，(綈p)∨q为假，故真命题是②③，故选C.答案：C8．若命题“∃x0∈R，使得x＋(1－a)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是______________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1或a>3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)9．已知m∈R，设命题p：不等式|m2－5m－3|≥3，命题q：函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋6在(－∞，＋∞)上有极值．求使p且q为真的m的取值范围．解析：由已知不等式得m2－5m－3≤－3或m2－5m－3≥3，即当m≤－1或0≤m≤5或m≥6时，p为真．对函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋6求导，得f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋.令f′(x)＝0，即3x2＋2mx＋m＋＝0，当且仅当Δ＞0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极值，由Δ＝4m2－12m－16＞0得m＜－1或m＞4，因此，当m＜－1或m＞4时，q为真．综上可知，使p真且q真，实数m的取值为上述两个取值范围的公共部分，易知m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，5]∪[6，＋∞)．10．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．解析：由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝或x＝－a，∴当命题p为真命题时≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足x＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2.2即a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3
