考点39直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2015·四川高考理科·T10)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)【解题指南】数形结合、分类讨论.结合几何特征,可以利用三角函数设出切点坐标,利用点差法可表示出半径,再结合圆与抛物线的位置关系,进一步确定半径范围.【解析】选D.当直线与x轴垂直的时候,满足条件的直线有且只有2条.当直线与x轴不垂直的时候,由对称性不妨设切点M(5+rcosθ,rsinθ)(0<θ<π),则切线的斜率:kAB=-,又M为AB中点,由点差法可求得,kAB=,所以r=-,r>2.由于点M在抛物线内,所以y2<4x,将坐标代入可求得r<4,综上,2b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率.(2)求椭圆的方程.(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.【解题指南】(1)由椭圆知识先求出a,b,c的关系,设直线FM的方程为y=k(x+c),求出圆心到直线的距离,由勾股定理可求斜率k的值.(2)由(1)设椭圆方程为,直线与椭圆方程联立,求出点M的坐标,由|FM|=可求出c,从而可求椭圆方程.(3)设出直线FP:y=t(x+1),与椭圆方程联立,求得t=>,求出x的范围,即可求直线OP的斜率的取值范围.【解析】(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为,直线FM的方程为两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为(c,c).有解得c=1,所以椭圆的方程为.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立消去，整理得.又由已知，得，解得-0,于是m=,得m∈(,).②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-,得m∈(-∞,-).综上,直线OP的斜率的取值范围是(-∞,-)∪(,).4.（2015·四川高考文科·T20)如图，椭圆（>>0）的离心率是，点在短轴上，且（1）求椭圆的方程;（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。【解题指南】(1)利用向量关系求出，再利用离心率求出（2）先假设存在。通过与轴平行的两根特殊直线带入算出的值为1。再设任意直线，由韦达定理带入验证是否对于任意直线，都满足题意。CDBP【解析】（1）由知，解得，再由离心率是得到；因此椭圆方程为（2）a)取过点的直线为，此时;;b)取过点的直线为，此时；;令解得.现设直线为，验证当是否使得为定值.联立直线与椭圆得到，；设，由韦达定理知：。。所以，存在常数，使得为定值。5.（2015·安徽高考文科·T20）设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为。（1）求E的离心率e;(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB。【解题指南】（1）由和椭圆的离心率公式求得。（2）通过向量的数量积得出。【解析】（1）由题意可知点M的坐标是，又,所以，进而得，故。（2）由N是AC的中点可知，点N的坐标为，可得,又，从而。由（1）的计算结果可知，所以，故。6.（2015·安徽高考理科·T20）设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，...
