6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课后篇巩固提升基础达标练1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4解析因为向量e1与e2不共线,所以解得答案D2.如图所示,在△ABC中,AD=AB,BE=BC,则=()A.B.C.D.解析)=.答案D3.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足()A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0D.m<0,n<0解析如图所示,利用平行四边形法则,将分解到上,有,则=m=n,很明显方向相同,则m>0;方向相反,则n<0.答案B4.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是()A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点OD.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)解析由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的始点是原点为前提的,故D错误.答案BCD5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,即xe1+2e2=3λe1+λye2,所以故xy=3λ·=6.答案66.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基底来表示=,=.解析=e1+(e2-e1)=e1+e2,=(e2-e1)=e1+e2.答案e1+e2e1+e27.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求证:{a,b}可以作为一个基底;(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得所以λ不存在,故a,b不共线,即{a,b}可以作为一个基底.(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以解得故c=2a+b.8.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.(1)用a,b表示;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b,(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).(2)证明由(1)知,,∴共线.又有公共点B,∴B,E,F三点共线.能力提升练1.(多选题)已知向量e1,e2不共线,则下列各组向量不可以作为平面内的一组基底的是()A.e1-e2与e2-e1B.2e1-3e2与e1-e2C.-e1-2e2与2e1+4e2D.e1-2e2与2e1-e2解析选项A,B,C中的两个向量都共线,所以不能作为基底,D中的两个向量不共线,故可作为基底.答案ABC2.(2020四川绵阳高一检测)如图,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若=ma+nb,则m+n=()A.B.C.D.1解析由题意可得=2=2,=a=+2,①=b,②由①②求得a+b.再由=ma+nb可得m=,n=,m+n=.答案C3.(2020黑龙江哈尔滨三中高一检测)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b解析设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=m.过点E作EH⊥AB于点H,则EH=m,EH∥AD,AH=m.所以AH=AB,HE=AD.所以a+b.故选A.答案A4.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为.解析由题意知a=(2cos45°,2sin45°)=().答案()5.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为.解析如图,作平行四边形ODCE,则.在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,故=4=2,即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.答案66.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求的值.解设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又=2e1+3e2,∴解得∴,即=4∶1.素养培优练(2020江西上饶中学高一检测)在△ABC中,.(1)求△ABM与△ABC的面积之比;(2)若N为AB的中点,交于点P,且=x+y(x,y∈R),求x+y的值.解(1)在△ABC中,,4=3,3()=,即3,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.故△ABM与△ABC的面积之比为.(2)因为,=x+y(x,y∈R),所以x=3y.因为N为AB的中点,所以=x+y+y=x+y=x+(y-1),因为,所以(y-1)=xy,即2x+y=1,又x=3y,所以x=,y=,所以x+y=.
