高考数学复习点拨 有关导数概念的几个疑难问题VIP免费

有关导数概念的几个疑难问题一、同学们在理解导数概念时，要加深对下述问题的理解和掌握．1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。函数y=)(xf在x0点可导是)(xf在x0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。如果0limxxy不存在，称函数在x0点不可导；若0limxxy存在，则称此极限值为函数在该点的导数。2．y=)(xf在x0点可导有以下三个条件：①y=)(xf在x0点处及其附近有意义；②左极限0limxxy及其右极限0limxxy都存在；③0limxxy=0limxxy，即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。3．导函数y=)(xf与原来的函数y=)(xf有相同的定义域(a，b)．4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别：①．函数在一点处的导数y0=)(0xf是一个常数，不是变量．②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数y=)(xf在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数y0=)(0xf．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y=)(xf的导函数y=)(xf．用心爱心专心③．函数y=)(xf在点x0处的导数y0=)(0xf就是导函数y=)(xf在点x=x0处的函数值，即)(0xf=)(xf|0xx．5．导数与连续的关系：若函数y=)(xf在x0处可导，则此函数在x0处连续，但逆命题不成立，即函数y=)(xf在x0处连续，未必在x0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．下面用两个例题说明这个问题．例1求证：若函数在点x0处可导，则函数)(xf在点x0处连续．证明：∵函数)(xf在点x0处可导，∴在点x0处有：0limxx[)(xf－)(0xf]=0limxy=0limx(xy·x)=0limxxy·0limxx=)(0xf·0=0，∴0limxx)(xf=)(0xf，即函数)(xf在点x0处连续．例2求证：函数)(xf=|x|在点x0=0处连续，但在x0处不可导．证明：∵①)0(f=0；②0limx|x|=0limx|x|=0limx|x|=0；③0limx)(xf=)0(f．∴)(xf=|x|在点x0=0处连续．①又∵函数)(xf=|x|在点x0=0及其附近有意义；②xy=xxfxxf)()(00=xfxf)0()0(=xxf)(=xx||=用心爱心专心0.10,1＜xxxx＞xx；③0limxxy=－1，0limxxy=1，即0limxxy不存在，所以)(xf=|x|在点x0=0处不可导．综上所述，函数)(xf=|x|在点x0=0处连续，但在在x0处不可导．综上，函数y=)(xf在点x0处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念它们之间的关系是：)(xf在点x0处有定义，不一定在x0处连续；但)(xf在点x0处连续，一定在点x0处有定义，即)(xf在点x0处有定义是)(xf在点x0处连续的必要而不充分的条件。)(xf在点x0处连续，则)(xf在点x0处一定有极限，且0limxx)(xf=)(0xf；但)(xf在点x0处有极限，不一定在点x0处连续，即)(xf在点x0处连续是)(xf在点x0处有极限的充分而不必要的条件。)(xf在点x0处连续是)(xf在点x0处可导的必要而不充分的条件。二、导数的几何意义①设函数y=)(xf在x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0，y0)处的切线斜率．②设S=S(t)是位移函数，则)(0tS表示物体在t=t0时刻的瞬时速度．用心爱心专心③设V=V(t)是速度函数，则)(0tV表示物体在t=t0时刻的加速度．用心爱心专心