课后限时集训7函数性质的综合问题建议用时：45分钟一、选择题1．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝()A．－B．－C．D．C[因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f.又当0≤x≤1时f(x)＝x2－x，所以f＝－＝－，则f＝.]2．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝ex＋e－xB．y＝ln(|x|＋1)C．y＝D．y＝x－D[选项A、B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．]3．已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为()A.B．－C.D．－A[由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，∴f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)． f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，∴f(－1)＝2－1－1＝－，∴f(1)＝，∴f(16)＝.]4．设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为()A．[－3,3]B．[－2,4]C．[－1,5]D．[0,6]B[因为f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由函数f(x)在[－6,0]上为增函数，得f(x)在(0,6]上为减函数，故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.]5．(2019·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有()A．f＜f＜fB．f＜f＜fC．f＜f＜fD．f＜f＜fC[因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知f＜f＜f.]二、填空题6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6[ f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6， 919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.]7．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图像关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．①②③[ f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图像关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．]8．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，则f(x)＞0的解集为________．[由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，可知函数y＝f(x)在(－∞，0)内单调递增，且f＝0.由f(x)＞0，可得x＞或－＜x＜0.]三、解答题9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．[解](1) f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝10．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．[解](1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.1．(2019·江西临川第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上...
