【创新方案】2017届高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课后作业理1．如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD＝2，M为PB的中点．(1)求证：PA⊥平面CDM；(2)求二面角DMCB的余弦值．3．(2015·广东高考)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．11．(2015·浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值．2.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．3．(2016·黄冈模拟)在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′(如图)．(1)求证：AC⊥平面ABC′；(2)求证：C′N∥平面ADD′；(3)求二面角AC′NC的余弦值．答案1．解：(1)证明： PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC， AB＝2，AD＝CD＝1，∠ADC＝90°，∴AC＝BC＝，2∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC. AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.(2)如图，以C为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)．设P(0,0，a)(a＞0)，则E，取m＝(1，－1,0)，则m为平面PAC的一个法向量．即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)．依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝1.即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.2.解：(1)证明：法一：取PA的中点N，连接MN，DN，又M为PB的中点，所以MN∥AB，又菱形ABCD中，AB∥CD，所以MN∥CD，所以C，D，M，N四点共面．取DC的中点为O，连接PO.因为侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥底面ABCD.因为底面ABCD为菱形且∠ADC＝60°，DC＝2，DO＝1，故OA⊥DC.因为PO∩AO＝O，所以DC⊥平面POA，所以DC⊥PA，在△PAD中，PD＝AD＝2，N为PA的中点，所以DN⊥PA.又DN∩DC＝D，DN⊂平面CDNM，DC⊂平面CDNM，3所以PA⊥平面CDNM，即PA⊥平面CDM.法二：取DC的中点为O，连接PO，OA，因为侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD.所以PO⊥底面ABCD，因为底面ABCD为菱形且∠ADC＝60°.DC＝2，DO＝1，有OA⊥DC.以O原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(，0,0)，P(0,0，)，B(，2,0)，C(0，1,0)，D(0，－1,0)，所以M，观察可知二面角DMCB为钝角，所以所求二面角的余弦值是－.3．解：法一：(1)证明：在△PCD中， E为CD的中点，且PC＝PD，∴PE⊥CD.又 平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD.又 FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG.(2)由(1)知PE⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD，∴PE⊥AD.又 四边形ABCD是长方形，∴AD⊥CD.又 PE∩CD＝E，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PD，∴∠PDE为二面角PADC的平面角． AB＝CD＝6，∴DE＝3.在Rt△PED中，PE＝＝＝，4∴tan∠PDE＝＝，∴所求二面角PADC的正切值为.(3)如图，连接AC，在△ABC中， AF＝2FB，CG＝2GB，∴FG∥AC.由异面直线所成角的定义，知直线PA与直线FG所成角的大小等于∠PAC的大小．在Rt△PDA中，PA＝＝5，AC＝＝3，PC＝4，∴cos∠PAC＝＝＝，∴直线PA与直线FG所成角的余弦值为.法二：在△PCD中， E为CD的中点，且PC＝PD，∴PE⊥CD.又 平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD.取AB的中点H，连接EH. 四边形ABCD是长方形，∴EH⊥CD.如...
