定积分与曲边梯形的面积求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.当函数f(x)在区间〔a，b]上恒为正时，定积分badxxf)(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，定积分badxxf)(的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．那么在一般情形下，定积分badxxf)(的几何意义是曲线y=f(x)，两条直线x＝a,x＝b与x轴所围成的各部分面积的代数和.本文主要探讨定积分与曲边梯形面积的关系.一.利用定积分的定义求曲边梯形的面积例1.利用定积分的定义求由直线x=1,x=2和y=0及曲线y=x3围成的图形的面积．分析:画出草图,形象直观,帮助解题.对定积分定义的理解程度决定了解题的成败.解：（1)分割把求面积的曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点把区间［1,2］等分成n个小区间每个小区间的长度为过各分点作x轴的垂线，把曲线梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作△S1,△S2，…,△Sn．（2)近似代替取各小区间的左端点i，用以点i的纵坐标(i)3为一边，以小区间长△x=n1为其邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即用心爱心专心（4）求极限当分点数目愈多，即△x愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S.因此n即△x0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积点评:(1)据定义求定积分的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．(2)独立研究一个这种例题，是学习定积分过程中必需的，重点在于体验其中的数学思想．二、利用微积分基本定理求曲边梯形的面积1.以x为积分变量例2.求由抛物线y=x2-1，直线x=2,y=0所围成的图形的面积．分析：首先要较准确地画出图形，尤其是公共点．解：首先画出如图所示的阴影部分就是所求作的图形．由x2-1=0，得抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)和(1,0)所求图形分成两块，分别用定积分表示面积为：因为1)3(,1)3(2323xxxxxx，所以dxxdxx112112)1(|1|=dxxdxx212112)1(|1|=213113|)3(|)3(xxxx=1-31+1-31+38-2-(31-1)=38,用心爱心专心即所围成的三角形面积为38．点评：在[-1,1]上,抛物线在x轴下方,这时有两种办法表示，其面积表示其一是dxx112|1|,其二是dxx112)]1(0[．2.以y为积分变量例3求曲线y=2x与直线y=x-4围成的图形面积．分析：首先正确画出抛物线和直线的大致图象（关键点要尽可能准确），如果选择积分变量为x，则要将区域分成两块才行，而如果选择积分变量y,如图,问题便很简单．解：由,4,22xyxy解得,2,2yx和.4,8yx即A,B两点的纵坐标分别是-2和4.因此所求的面积为因为,24)642(232yyyyy所以S=4232422|)642(]2)4[(yyydyyy=18.点评：由本题可看出，如果采用x作为积分变量，积分的运算量会增加，可见，认真审题，找出最佳的方法是很重要的．三、逆用曲边梯形的面积求定积分例4.求定积分102))1(1(dxxx的值.解析:102))1(1(dxxx表示圆(x-1)2+y2=1（y≥0）的一部分用心爱心专心Oyx1与直线y=x所围成的图形（如图所示）的面积，因此102))1(1(dxxx=2141121412.点评:本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由102))1(1(dxxx联想到圆(x-1)2+y2=1（y≥0）的一部分与直线y=x，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力。四、巧用对称性求平面图形面积在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.例4.简化下列各式．思路与技巧:根据定积分的几何意义通过数形结合可将式子简化．解答:(1)dxxdxxdxx302202232,图象如图所示(2)dxxdxxdxx112110||)1()1(图象，如图所示评析:利用定积分的几何意义简化定积分在以后的求定积分过程中也是经常用到的．用心爱心专心
