专题三平面向量【知识概要】一、向量的概念及其运算●1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量。常用一条有向线段表示向量，的长度表示向量的大小，记为，长度为零的向量，记为。●2．平行向量：方向相同或相反的向量。平行向量也叫共线向量，且规定与任一向量平行。●3．向量加法的定义及向量加法的三角形法则。已知向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做与的和，记作，即。规定：（为任意向量）●4．向量加法的性质（1）交换律：（2）结合律：●5．向量加法的平行四边形法则已知向量，在平面内任取一点A，作，则以为邻边的平行四边形ABCD的对角线向量就是。●6．向量减法的定义（1）与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，记做，即。●7．向量的数乘实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）；（2）的方向与相同(或与相反(；（3）。性质：若，则（1）；（2）；（3）。●8．共线判定定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得1ABCab。二、向量的坐标表示●1．平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使；不共线向量叫做平面内所有向量的一组基底。●2．平面向量的坐标表示如果，其中分别为与轴，轴方向相同的单位向量，则有●3．平面向量的坐标运算（1）；（2）；（（3）；（4）。●4．数量积的坐标表示：若，则有●5．向量平行的判定定理：设，则。●6．向量垂直判定定理：设，则。●7．向量长计算公式（1）若，则；（2）若点，，则。●8．三角形不等式定理：设是任意两个向量，则有。三、向量的数量积●1．数量积的定义：设向量与的夹角为，我们将数值称为向量与的数量积．记为，并规定，因此得定义式：。●2．数量积的运算律（1）交换律：2（2）数乘结合律：（3）分配律：●3．数量积的基本性质（1）垂直条件：（2）同向反向性：与同向，与反向（3）数量积表示模：；或者（4）夹角公式：设，则（5）数量积不等式：四、向量的应用●1．平面几何中的向量问题向量的运算与几何图形的性质密切相关，向量的运算可以用图形简明地表示，而图形的性质又可以反映到向量的运算上来。●2．向量在物理中的应用物理学中有很多矢量，因此其研究过程若引入向量的基本方法，可以收到较好的效果。3
