课时跟踪检测（一）正弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝________.解析：由正弦定理得＝，即＝，所以AC＝4.答案：42．在△ABC中，若b＝5，B＝，sinA＝，则a＝______.解析：由正弦定理得＝，又b＝5，B＝，sinA＝，所以＝，a＝.答案：3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sinB＝________.解析：根据正弦定理＝，可得＝，解得sinB＝.答案：4．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.解析：A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶.答案：1∶1∶5．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是________．解析：由题意有＝b＝，则sinB＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．答案：直角三角形6．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，则B＝________.解析：∵＝，∴sinC＝＝＝，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，B＝180°－45°－60°＝75°，当C＝120°时，B＝180°－45°－120°＝15°.答案：75°或15°7．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝＋且A＝75°，则b＝________.解析：sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋sin45°·cos30°＝，由a＝c＝＋，可知，C＝75°，所以B＝30°，sinB＝，由正弦定理得b＝·sinB＝×＝2.答案：28．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝________.解析：根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝30°.根据正弦定理：c＝＝＝2.答案：29．在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.解：由正弦定理得＝，所以sinB＝＝，因为b>c，所以B>C＝30°.所以B＝60°或B＝120°.当B＝60°时，A＝90°，则a＝＝12.当B＝120°时，A＝30°，则a＝c＝6.所以a＝6或a＝12.10．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.证明：因为左边＝4R2sin2A·sin2B＋4R2sin2B·sin2A＝8R2sin2AsinBcosB＋8R2sin2B·sinAcosA＝8R2sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsin(A＋B)＝8R2sinAsinBsinC＝2·(2RsinA)·(2RsinB)·sinC＝2absinC＝右边，所以等式成立．层级二应试能力达标1．在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________.解析：利用正弦定理变形，得＝＝＝，所以＝＝2.答案：22．在△ABC中，已知b＝4，c＝8，B＝30°，则a＝________.解析：由正弦定理，得sinC＝＝＝1.所以C＝90°，A＝180°－90°－30°＝60°.又由正弦定理，得a＝＝＝4.答案：43．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45°，则A等于______．解析：由正弦定理得，＝，解得sinA＝，又a>b，所以A＝60°或120°.答案：60°或120°4．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为x，b，c，若满足b＝2，B＝45°的△ABC恰有两解，则x的取值范围是________．解析：要使△ABC恰有两解，xsin45°<2
