第六章平面向量及其应用[A基础达标]1．将3化成最简式为()A．－a＋bB．－4a＋5bC.a－bD．4a－5b解析：选B.原式＝3[a＋b]＝3＝－4a＋5b.2．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．10解析：选B.由题意可知解得故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.3．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边长为()A.B.C.D.解析：选B.A＝180°－(60°＋45°)＝75°，故最短边为b，由正弦定理可得＝，即b＝＝＝，故选B.4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于()A.B.C.D.解析：选D.由已知及正弦定理得2sinAsinB＝sinB，因为sinB>0，所以sinA＝.又A∈，所以A＝.5．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinBcosC，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选D.由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2⇒A为直角；而由sinA＝2sinBcosC，可得sin(B＋C)＝2sinBcosC,整理得sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，故B＝C.综合上述，B＝C＝，A＝.即△ABC为等腰直角三角形．6．已知非零向量a＝(t，0)，b＝(－1，)，若a＋2b与a的夹角等于a＋2b与b的夹角，则t＝________．解析：由题设得＝，所以|b|(|a|2＋2b·a)＝|a|(a·b＋2|b|2)，将a＝(t，0)，b＝(－1，)代入整理得2t2＋t·|t|＝8|t|＋4t，当t>0时，3t2＝12t，所以t＝4；当t<0时，t2＝－4t，所以t＝－4.综上，t的值为4或－4.答案：4或－47．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若2asinB＝b，b＋c＝5，bc＝6，则a＝________．解析：因为2asinB＝b，所以2sinAsinB＝sinB.所以sinA＝，因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＝，因为bc＝6，b＋c＝5，所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋32－2×6×＝7，所以a＝.答案：8．(2019·湖南株洲市检测)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AD·EB＝2，则AB的模为________．解析：因为在平行四边形ABCD中，EB＝EC＋CB＝DC－BC，又DC＝AB，BC＝AD，所以EB＝AB－AD，所以AD·EB＝AD·＝AB·AD－AD2＝|AB||AD|cos60°－|AD|2＝|AB|－1＝2，所以|AB|＝12.答案：129．已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝.(1)求证：(2e1－e2)⊥e2；(2)若m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2，且|m|＝|n|，求λ的值．解：(1)证明：因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－e＝2|e1||e2|cos－|e2|2＝2×1×1×－12＝0，所以(2e1－e2)⊥e2.(2)由|m|＝|n|得(λe1＋e2)2＝(3e1－2e2)2，即(λ2－9)e＋(2λ＋12)e1·e2－3e＝0.因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以e＝e＝1，e1·e2＝1×1×cos＝，所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×－3×1＝0，即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝，且(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc.(1)求cosC的值；(2)若a＝5，求△ABC的面积．解：(1)由(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc，得a2－(b－c)2＝bc，即a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理，得cosA＝＝，所以sinA＝.又因为B＝，所以cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝.(2)由(1)得sinC＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.所以c＝＝8，所以S＝acsinB＝×5×8×sin＝10.[B能力提升]11．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为()A．5000米B．5000米C．4000米D．4000米解析：选B.如图，在△ABC中，AB＝10000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.根据正弦定理得，BC＝＝＝5000(米)．12．在△ABC中，点D满足BD＝BC，当E点在线段AD上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是()A.B.C.D.解析：选C.如图所示，存在实数m使得AE＝mAD(0≤m≤1)，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，所以AE＝m＝AB＋AC，所以所以t＝(λ－1)2＋μ2＝＋＝m2－＋1＝＋，所以当m＝时，t＝(λ－1)2＋μ2取得最小值.13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.则C＝________，AB＝...
