6.3平面向量线性运算的应用一、选择题1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．答案：D2．河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．2m/sC．4m/sD．12m/s解析：由题意知|v水|＝2m/s，|v船|＝10m/s，作出示意图如右图．∴小船在静水中的速度大小|v|＝＝＝2(m/s)．答案：B3．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋AD解析：因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝＝AB＋AD.答案：B4．已知a＝(－1，)，OA＝a－b，OB＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是()A.B．2C．2D．4解析：因为a＝(－1，)，所以|a|＝＝2.设AB中点为C，则OC＝(OA＋OB)＝a，则|OC|＝|a|＝2.在直角三角形AOB中，|AB|＝2|OC|＝4，所以S△AOB＝×4×2＝4.答案：D二、填空题5．若AB＝3e，DC＝5e，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状为________．解析：由AB＝3e，DC＝5e，得AB∥DC，AB≠DC，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.又|AD|＝|BC|，得AD＝BC，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案：等腰梯形6．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的面积是________．解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，∴AC＝(－3,3)，AB＝(1,1)，BC＝(－4,2)．∴AC＝3，|AB|＝，BC＝2.∵|AC|2＋|AB|2＝|BC|2，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝|AB||AC|＝×3×＝3.答案：37．已知某一物体在力F1＝(3,1)，F2＝(－1,7)的作用下在桌面上移动，则合力＝________.解析：∵F1＝(3,1)，F2＝(－1,7)，∴合力为(2,8)．答案：(2,8)三、解答题8．已知A(0，－4)，B(4,0)，C(6，－2)，求AB边上的中线CD的长．解析：∵A(0，－4)，B(4,0)，∴AB中点D(2，－2)．∵C(6，－2)，∴CD(－4,0)．∴|CD|＝4.9．如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解析：如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.设向量OA，OB分别表示两根绳子的拉力，则CO表示物体所受的重力，且|OC|＝300N.所以|OA|＝|OC|cos30°＝150(N)，|OB|＝|OC|cos60°＝150(N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N．[尖子生题库]10．物体W的质量为50千克，用绳子将物体W悬挂在两面墙之间，已知两面墙之间的距离AB＝10米(AB为水平线)，AC＝6米，BC＝8米(物体W悬挂在绳子上C点处)，求AC，BC上所受的力的大小．解析：物体重力是竖直向下的，大小为50×9.8＝490(牛顿)，因此AC，BC方向所受到的力f2与f1的合力应该是竖直向上的，且大小为50×9.8＝490(牛顿)，如图，建立直角坐标系，设|f1|＝a牛顿，|f2|＝b牛顿，则f1＝，f2＝，又f1＋f2＝(0,490)，所以解得根据力的相互作用性得BC上所受力的大小为294牛顿，AC上所受力的大小为392牛顿．
