高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第8讲直线与圆锥曲线的位置关系1．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于()A．±B.±C．±D．±2解析：选A.将直线与椭圆方程联立，化简整理得(3＋4k2)x2＝12，(*)因为分别过A，B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1，代入方程(*)，得k＝±，故选A.2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是()A．1B.2C．1或2D．0解析：选A.因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于()A.B.C.D．4解析：选C.由消去y得ax2－x＋1＝0，所以解得a＝.4．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若MA·MB＝0，则m等于()A.B.C.D．0解析：选B.由题意可得8x2－20x＋8＝0，解得x＝2或x＝，则A(2，2)，B(，－)．点M(－1，m)，由MA·MB＝0，可得(3，2－m)·＝0.化简2m2－2m＋1＝0，解得m＝.故选B.5．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B.y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA·OB＝________．解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，所以OA·OB＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB＝－.答案：－7．如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则AB·DC＝________．解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立，解得x＝±2，则A(－2，1)，D(2，1)，因为B(－1，1)，C(1，1)，所以AB＝(1，0)，DC＝(－1，0)，所以AB·DC＝－1.答案：－18．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，则a2－b2＝4，所以可设椭圆方程为＋＝1，联立得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，由一元二次方程根与系数的关系得：y1＋y2＝＝2.解得：b2＝8.所以a2＝12.则椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝19．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求OA·OB的取值范围．解：(1)由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，所以a2＝b2.因为双曲线－x2＝1的焦点坐标为(0，±)，所以b＝，所以a2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)，则OA·OB＝－4；当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4，由⇒(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，由Δ>0⇒(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0⇒m2>4，设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)．因为y1＋y2＝－，y1y2＝，所以OA·OB＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝－4，因为m2>4，所以OA·OB∈.综上所述，OA·OB的取值范围为.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，所以＋＝1.①又因为离心率为，所以＝，所以＝.②解①②得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线的倾斜角为时，不妨取A，B，S△ABF2＝|AB|·|F1F2|＝×3×2＝3≠.当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以S△ABF2＝|y1－y2|×|F1F2|＝|k|＝|k|＝＝，所以17k4＋k2－18＝0，解得k2＝1，所...