课时跟踪训练(二十六)平面向量基本定理及坐标表示[基础巩固]一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a＝(2,3)表示成λe1＋μe2(λ，μ∈R)的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(2,1)B．e1＝(3,4)，e2＝(6,8)C．e1＝(－1,2)，e2＝(3，－2)D．e1＝(1，－3)，e2＝(－1,3)[解析]根据平面向量基本定理可知，e1，e2不共线，验证各选项，只有选项C中的两个向量不共线，故选C.[答案]C2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝()A．－a＋bB.a－bC.a－bD．－a＋b[解析]设c＝λ1a＋λ2b，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，所以c＝a－b.[答案]B3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2[解析]解法一：因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.解法二：因为a＋b与4b－2a平行，所以存在常数λ，使a＋b＝λ(4b－2a)，即(2λ＋1)a＝(4λ－1)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x＝2.[答案]D4．(2018·四川成都双流中学月考)设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当a∥b时，有2×4－(x－1)(x＋1)＝0.解得x＝±3.故“x＝3”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A.[答案]A5．(2018·广西柳州模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的取值为()A．－B.C．－3D．3[解析]ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(ka＋b)∥(a－3b)得1(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以k＝－.[答案]A6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝()A．2B.C．2D．4[解析]因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又OC＝λOA＋μOB，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.[答案]A二、填空题7．已知平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则顶点D的坐标是________．[解析]设D(x，y)， A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，∴AB＝(1,5)，DC＝(－3－x,4－y)． 四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC，得解得x＝－4，y＝－1.∴点D的坐标为(－4，－1)．[答案](－4，－1)8．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．[解析] b＝(2,1)，且a与b的方向相反，∴设a＝(2λ，λ)(λ<0)． |a|＝2，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a＝(－4，－2)．[答案](－4，－2)9．已知A(－1,2)，B(a－1,3)，C(－2，a＋1)，D(2,2a＋1)，若向量AB与CD平行且同向，则实数a的值为________．[解析]解法一：由已知得AB＝(a,1)，CD＝(4，a)，因为AB与CD平行且同向，故可设AB＝λCD(λ>0)，则(a,1)＝λ(4，a)，所以解得故所求实数a＝2.解法二：由已知得AB＝(a,1)，CD＝(4，a)，由AB∥CD，得a2－4＝0，解得a＝±2.又向量AB与CD同向，易知a＝－2不符合题意．故所求实数a＝2.[答案]2三、解答题10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．[解](1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)解法一： A、B、C三点共线，∴AB＝λBC，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴解得m＝.2解法二：AB＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)， A、B、C三点共线，∴AB∥BC，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.[能力提升]11．(2018·河北石家庄期末)如图所示，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若OC＝λOE＋μOF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝()A.B.C.D．1[解析] AC＝3AE，∴OC－OA＝3OE－3OA，OE＝OA＋OC.同理可得：OF＝OB＋OC.代入OC＝λOE＋μOF，得OC＝λ·＋μ·，∴OC＝OA＋OB.又 OC＝...
