高考数学一轮复习 4.1平面向量的概念及其线性运算课时作业 理 湘教版-湘教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2016届高考数学一轮复习4.1平面向量的概念及其线性运算课时作业理湘教版一、选择题1.（2010·福州质检）如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a－b可表示为（）A.3e2－e1B.－2e1－4e2C.e1－3e2D.3e1－e2【解析】连接a,b的终点,并指向a的向量是a－b.【答案】C2.已知=a+5b,=2a－8b,=3（a－b），且a，b是非零的不共线向量，则（）A．A,B,D三点共线B．A,B,C三点共线C．B,C,D三点共线D．A,C,D三点共线【解析】=3(a－b)=，故选D．【答案】D3.（2014·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的（）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心)C.重心D.AB边的中点【解析】设AB的中点为M，则，1∴，即3OP＝OM＋2OC，也就是MP＝2PC，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点.【答案】B4.O是△ABC所在平面内一点，动点P满足(＞0)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.内心B.重心C.外心D.垂心【解析】由于＝h(h为BC边上的高)，∴已知等式可化为(＞0)，即点P一定在以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线上，也就是在边BC的中线所在的直线上，因此点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选B.【答案】B5.在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若AO＝xAB＋（1－x)AC，则实数x的取值范围是（）A.（－∞，0)B.（0，＋∞)C.（－1,0)D.（0,1)【解析】设BO＝λBC（λ＞1)，则AO＝AB＋BO＝AB＋λBC＝（1－λ)AB＋λAC，又AO＝xAB＋（1－x)AC，所以xAB＋（1－x)AC＝（1－λ)AB＋λAC.所以λ＝1－x＞1，得x＜0.2【答案】A6..在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB＝3，且(∈R)，则AD的长为()A.1B.C.2D.3【解析】如图所示，∵B，D，C三点共线，∴＋＝1，即＝.在AB上取一点E使，在AC上取一点F使，由，可知四边形AEDF为平行四边形，又∵∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AEDF为菱形.∵，AB＝3，∴菱形的边长为2.在△ADF中，，∴AD＝sin120°·＝2.故选C.【答案】C二、填空题7.(2013·南昌模拟)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，重心为G，若aGA＋bGB＋cGC＝0，则∠A＝________.【解析】由G为△ABC的重心知=0，.因此由题意有；又∵不共线，3因此有，即a＝b＝，cosA＝；又∵0＜A＜，∴A＝【答案】8.已知O是正△ABC内部一点，＝0，则△ABC的面积与△OAC的面积之比为.【解析】如图，取BC与AC的中点M，N，连接OM，ON.∵＝0，∴＝0.∴，同理得.∴O、M、N三点共线.∴MN是△ABC的中位线，且，即△ABC的面积与△AOC的面积的比是3∶1.【答案】3∶19.M、N分别在△ABC的边AB，AC上，且=，=，BN与CM交于点P，=x+y，则x+y=．【解析】如图，设=λ,=μ.则在△ABP中，=+=+λ=+λ（－）=+λ（－）=（1－λ）+,在△ACP中，=+=+μ=+μ（－）=4+μ（－）=+（1－μ）.由平面向量基本定理得解得因此故．【答案】10.在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OD是AB边上的高，若AD＝λAB，则实数λ＝________.【解析】由AD＝λAB，∴|AD|＝λ|AB|.又∵|AD|＝|a|cosA＝|a|·＝，|AB|＝|b－a|，∴λ＝＝.【答案】三、解答题11.设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．【解析】(1)证明：由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵AB＝2e1－8e2，∴AB＝2BD.又∵AB与BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)由(1)可知BD＝e1－4e2，∵BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，∴BF＝λBD(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12.12.如图，点A1、A2是线段AB的三等分点.（1）求证：+=+；（2）一般地，如果点A1、A2、…、An－1是AB的n（n≥3）等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例．并证明你写的结论．5【解析】（1）∵,∴=+=+(－)=，同理=,则+=+=+.（2）一般结论为+=+=…=+证明：∵=,∴=+=+,而=+=+=+－=－，∴+=++－=+.（注：也可以将结论推广为++…+=(+)，证明类似，证明略．）13.如图，点D、Q、P分别在△ABC的三边AB、BC、CA上，CD与PQ交于点E，已知＝m,=n,又设=x,=y,试求y关于x的函数y=f(x)的解析式，并指出该函数的定义域和值域.【解析】设＝a，＝b，则＝a,CQ=b,==(－)=(b－a),∴==(+)=[a+(b－a)]=a+b,从而=－=a+b,=－=－a+b,∵P、E、Q三点共线，∴存在λ∈R，使得6=λ,即a+b=λ,∴,消去λ,得y=(1－m)x+mn,∴y=f(x)=(1－m)x+mn,显然m＞1,n＞1,且x＞1,y＞1,∴(1－m)x+mn＞1，故得函数的定义域为,且由于函数在其定义域上为减函数，∴该函数的值域为.7