第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造函数证明不等式1,2函数零点(方程根)有关不等式3证明与数列有关的不等式41.(2017·咸阳二模)已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=-3x2+3且f(0)=-1,g(x)=xlnx+(a≥1).(1)求f(x)的极值;(2)求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2).(1)解:依题意得f(x)=-x3+3x-1,f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,所以f(x)极小值=f(-1)=-3,f(x)极大值=f(1)=1.(2)证明:法一易得x>0时,f(x)最大值=1,依题意知,只要1≤g(x)(x>0)x≤x⇔2lnx+a(x>0),由a≥1知,只要x≤x2lnx+1(x>0),即x2lnx+1-x≥0(x>0),令h(x)=x2lnx+1-x(x>0),则h′(x)=2xlnx+x-1,h′(1)=0,当x>1时,h′(x)>0;当00时,f(x)最大值=1,由a≥1知,g(x)≥xlnx+(x>0),令h(x)=xlnx+(x>0),则h′(x)=lnx+1-=lnx+,注意到h′(1)=0,当x>1时,h′(x)>0;当00时,f(x)最大值=1,由a≥1知,g(x)≥xlnx+(x>0),令h(x)=xlnx+(x>0),则h′(x)=lnx+1-(x>0),令(x)=lnx+1-(x>0),则′(x)=+>0,知(x)在(0,+∞)上递增,注意到(1)=0,所以,h(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,有h(x)最小值=1,即g(x)最小值=1,综上知对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2).12.导学号38486068(2017·山东模拟)已知函数f(x)=lnx-x2+x.(1)求函数f(x)在点x=2处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)证明:当a≥2时,关于x的不等式f(x)<(-1)x2+ax-1恒成立.(1)解:f′(x)=-2x+1(x>0),故f′(2)=-,f(2)=ln2-2,故切线方程是y-(ln2-2)=-(x-2),整理得y=-x+3+ln2.(2)解:f′(x)=-2x+1=(x>0),由f′(x)<0,得2x2-x-1>0.又x>0,所以x>1,所以f(x)的单调递减区间为(1,+∞),函数f(x)的单调递增区间为(0,1),故f(x)极大值=f(1)=0,无极小值.(3)证明:令g(x)=f(x)-[(-1)x2+ax-1]=lnx-ax2+(1-a)x+1,所以g′(x)=-ax+(1-a)=,因为a≥2,所以g′(x)=-,令g′(x)=0,得x=,所以当x∈(0,),g′(x)>0,当x∈(,+∞)时,g′(x)<0,因此函数g(x)在x∈(0,)上是增函数,在x∈(,+∞)上是减函数,故函数g(x)的最大值为g()=ln-a×()2+(1-a)×+1=-lna,令h(a)=-lna,因为h(2)=-ln2<0,h′(a)=--,因为a>0,所以h′(a)<0,则h(a)在(0,+∞)上是减函数,所以当a≥2时,h(a)<0,即对于任意正数x总有g(x)<0,所以关于x的不等式恒成立.3.(2017·河南安阳一模)已知函数f(x)=x+alnx与g(x)=3-的图象在点(1,1)处有相同的切线.(1)若函数y=2(x+m)与y=f(x)的图象有两个交点,求实数m的取值范围;(2)设函数F(x)=3(x-)+g(x)-2f(x)有两个极值点x1,x2,且x10,当x∈(1,+∞)时,T′(x)<0,所以T(x)max=T(1)=-1-2m,因为x→0时,T(x)→-∞,x→+∞时,T(x)→-∞,故要使两图象有2个交点,只需-1-2m>0,解得m<-,故实数m的范围是(-∞,-).(2)证明:由题意,函数F(x)=x--2lnx,其定义域是(0,+∞),F′(x)=,令F′(x)=0,即x2-2x+m=0,其判别式Δ=4-4m,函数F(x)有2个极值点x1,x2,等价于方程x2-2x+m=0在(0,+∞)内有2个不等实根,又x1x2>0,故00,f(x)+g(x)>1恒成立,求a的取值范围;(3)求证:+++…+0-10,⇔所以函数f(x)的增区间为(-1,0),减区间为(0,+∞),f(x)max=f(0)=0,无最小值.3(2)解:x>0,f(x)+g(x)>1x>0,ln(1+x)-x+∀⇔∀>1x>0,ln(1+x)+⇔∀>1x>0,a>(x+2)[1-ln(1+x)],⇔∀令h(x)=(x+2)[1-ln(1+x)].则h′(x)=1-ln(1+x)-=-ln(1+x)-.当x>0时,显然h′(x)=-ln(1+x)-<0,所以h(x)在(0,+∞)上是减函数.所以当x>0时,h(x)0时,ln(1+x)+>1,即ln(1+x)>(*).在(*)式中,令x=(k∈N*),得ln>,即ln>,依次令k=1,2,3,…,n,得ln>,ln>,ln>,…,ln>.将这n个式子左右两边分别相加,得ln(n+1)>+++…+.4
