揭示定积分的性质定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的基础上，我们还应了解一些定积分的基本性质.（由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求.）一、定积分基本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有性质１函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）.即[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx．这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2被积函数的常数因子可以提到积分号前.即()()bbaakfxdxkfxdx（k为常数）．性质3不论abc，，三点的相互位置如何，恒有()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx．这性质表明定积分对于积分区间具有可能性．性质4若在区间[]ab，上，()0fx≥，则()0bafxdx≥．推论1若在区间[]ab，上，()()fxgx≤，则()()bbaafxdxgxdx≤．推论2()()bbaafxdxfxdx≤．性质5（估值定理）设函数()fx在区间[]ab，上的最小值与最大值分别为m与M，则()()()bambafxdxMba≤≤．证明：因为()mfxM≤≤，由性质推论1得()bbbaaamdxfxdxMdx≤≤．即()bbbaaamdxfxdxMdx≤≤．故()()()bambafxdxMba≤≤．利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围.二、定积分性质的应用例1比较定积分20xedx和20xdx的大小．解：令()xfxex，[20]x，，则()0fx，故02()0fxdx，即02()0xexdx．用心爱心专心0022xedxxdx，从是2200xedxxdx．例2估计定积分π30212sindxx的值．解：∵当[0π]x，时，0sin1x≤≤，320sin1∴≤≤，由此有3222sin3x≤≤，32111322sinx≤≤，于是由估值定理有π302π1π322sindxx≤≤．评注：例１是比较同区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比较，但本例的构造函数，利用性质比较避免了大量计算，显得简捷、明了.例２中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解.用心爱心专心
