第3讲圆的方程[基础题组练]1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A.设圆心为(0，a)，则＝1，解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.2．(2020·河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.3．方程|x|－1＝所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆解析：选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆．4．(一题多解)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为()A．x＋2y－8＝0B．x－2y－8＝0C．2x＋y－16＝0D．2x－y－16＝0解析：选A.法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，解方程组，得或(舍去)，即B，因为A(8，0)，所以kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.5．(2020·河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|PA＋PB|的最大值为()A.＋2B．＋4C．2＋4D．2＋2解析：选C.取AB的中点D(2，－3)，则PA＋PB＝2PD，|PA＋PB|＝|2PD|，|PD|的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r，又d＝＝，所以d＋r＝＋2.所以|2PD|的最大值为2＋4.故选C.6．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为________．解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为.因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，所以直线x－y＋1＝0经过圆心，即－＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径为×＝3.答案：317．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝98．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．解析：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.答案：(x－1)2＋(y－3)2＝29．(一题多解)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，所以设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，所以半径r＝3|a|，又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，所以d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，所以r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求圆与y轴相切，所以r2＝a2，②又因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，所以a－3b＝0，③联立①②③，解得或故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心的坐标为，半径r＝.在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圆与y...
