第69讲绝对值不等式[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．1．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a(a∈R)．(1)解不等式f(x)≤5；(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．解析(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)≤5的解集为[－2,3]．(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，即|x－2|＋|x－a|≥a恒成立．而|x－2|＋|x－a|≥|(2－x)＋(x－a)|＝|a－2|，∴(|x－2|＋|x－a|)min＝|a－2|，∴|a－2|≥a，∴a≤0或解得a≤1，故a的取值范围为(－∞，1]．2．设f(x)＝|x－1|＋|x－a|
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)若对任意的x∈R，f(x)≥4，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝其图象如下．根据图象易得f(x)≥3的解集为
(2)由于f(x)＝|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|a－1|，对任意的x∈R，f(x)≥4等价于|a－1|≥4，解得a≥5或a≤－3，故实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．3．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R
(1)当a＝3时，解不等式f(x)>0；(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)0，即|x－2|－|2x－3|>0，等价于或或解得10)，求证：m＋2n≥4
解析(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4
因为方程|x－2|＋|x－1|＝4的解为x1＝－，x2＝，所以
