第九节圆锥曲线的综合问题A组基础题组1.如图,抛物线W:y2=4x与圆C:(x-1)2+y2=25交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q,则△PQC的周长的取值范围是()A.(10,14)B.(12,14)C.(10,12)D.(9,11)2.(2017湖南湘中名校联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足++=0,则++=.3.已知椭圆+=1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴长、焦距和短轴长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足=λ1,=λ2.(1)求椭圆的标准方程;(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点,并求此定点.4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,其离心率e=,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,AC与BD相交于点F1,·=0,求||+||的取值范围.1B组提升题组1.(2017湖南长沙模拟)如图,P是直线x=4上一动点,以P为圆心的圆Γ过定点B(1,0),直线l是圆Γ在点B处的切线,过A(-1,0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E,F两点.(1)求证:|EA|+|EB|为定值;(2)设直线l交直线x=4于点Q,证明:|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|.2.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.23答案精解精析A组基础题组1.C作出抛物线的准线:x=-1.过点Q向准线引垂线,垂足为H.故|QC|=|QH|.∵PC为圆的半径,∴|PC|=5.∴△PCQ的周长=|PQ|+|QC|+|PC|=|PQ|+|QH|+5.又∵PQ与x轴平行,∴△PCQ的周长=|PH|+5.∵点P为劣弧AB上不同于A,B的动点,A(4,4),B(4,-4),∴5<|PH|<7,∴10<|PH|+5<12.∴△PCQ的周长的取值范围为(10,12).2.答案0解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F,由++=0,得y1+y2+y3=0.易得kAB==,同理kAC=,kBC=,所以++=++=0.3.解析(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,所以a2=3.所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)证明:由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为x=t(y-m),由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),∴y1-m=-y1λ1,由题意得y1≠0,∴λ1=-1.4同理由=λ2知λ2=-1.∵λ1+λ2=-3,∴y1y2+m(y1+y2)=0,①由得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②且有y1+y2=③,y1y2=,④将③④代入①,得t2m2-3+2m2t2=0,∴(mt)2=1,由题意得mt<0,∴mt=-1,满足②,∴直线l的方程为x=ty+1,则直线l过定点(1,0).4.解析(1)由题意得,当点P是椭圆的上、下顶点时,△PF1F2的面积取得最大值,此时=|F1F2|·|OP|=bc,∴bc=4,因为e=,所以b=2,a=4,所以椭圆的方程为+=1.(2)由(1)得,F1的坐标为(-2,0),因为·=0,所以AC⊥BD,①当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时,易得||+||=6+8=14.②当直线AC的斜率k存在且k≠0时,设其方程为y=k(x+2),A(x1,y1),C(x2,y2),由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,x1+x2=,x1x2=,5||=|x1-x2|=,此时直线BD的方程为y=-(x+2).同理由可得||=,||+||=+=,令t=k2+1,则||+||=(t>1),因为t>1,0<≤,所以|+||=∈,综上,||+||的取值范围是.B组提升题组1.证明(1)设AE切圆Γ于点M,直线x=4与x轴的交点为N,故|EM|=|EB|.从而|EA|+|EB|=|AM|======4.所以|EA|+|EB|为定值4.(2)由(1)同理可知|FA|+|FB|=4,故E,F均在椭圆+=1上.设直线EF的方程为x=my+1(m≠0).6令x=4,求得y=,即Q点的纵坐标yQ=.由得(3m2+4)y2+6my-9=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-.因为E,B,F,Q在同一条直线上,所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|等价于(yB-y1)(yQ-y2)=(y2-yB)(yQ-y1),即-y1·+y1y2=y2·-y1y2,即2y1y2=(y1+y2)·.将y1+y2=-,y1y2=-代入,知上式成立.所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|.2.解析(1)由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,所以a2=4,b2=2.因此椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由Δ>0得m2<4k2+2,(*)且x1+x2=-,因此y1+y2=,7所以D,又N(0,-m),所以|ND|2=+,整理得|ND|2=,因为|NF|=|m|,所以==1+.令t=8k2+3,t≥3,故2k2+1=,所以=1+=1+.令y=t+,所以y'=1-.当t≥3时,y'>0,从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,因此t+≥,当且仅当t=3时等号成立,此时k=0,所以≤1+3=4,由(*)得-
